Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الأولى باك علوم تجريبية

الدرس 10

التحليلي للجداء السلمي وتطبيقاته

الصيغة التحليلية للجداء السلمي، التعامد والمعايير والمسافات، معادلات المستقيمات والدوائر، والتمثيلات البارامترية والمماسات.

سلسلة التمارين 10 — سلسلة تطبيقات: التحليلي للجداء السلمي

Ⅰ. تذكير وتعريف

تعريف

ليكن u⃗\vec{u} و v⃗\vec{v} متجهين من المستوى.

  • الجداء السلمي للمتجهين u⃗\vec{u} و v⃗\vec{v} هو العدد الحقيقي
u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(u⃗;v⃗^).\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos(\widehat{\vec{u};\vec{v}}).
  • العدد الحقيقي الموجب u⃗⋅u⃗\vec{u}\cdot\vec{u} يُسمّى المربّع السلمي للمتجه u⃗\vec{u} ونكتب u⃗2=u⃗⋅u⃗=∥u⃗∥2.\vec{u}^{2}=\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}.

تطبيق ①

ليكن ABCABC مثلثاً قائم الزاوية ومتساوي الساقين في BB بحيث AB=2AB=2 و AC=8AC=\sqrt{8} و

(AB→;AC→^)≡π4[2π].(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\equiv\frac{\pi}{4}[2\pi].

احسب الجداءات السلمية AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} و BA→⋅BC→\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} و CA→⋅CB→.\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}.

خاصية

ليكن u⃗\vec{u} و v⃗\vec{v} متجهين غير منعدمين. يكون u⃗\vec{u} و v⃗\vec{v} متعامدين إذا وفقط إذا كان u⃗⋅v⃗=0.\vec{u}\cdot\vec{v}=0. نكتب u⃗⊥v⃗.\vec{u}\perp\vec{v}.

تعريف

ليكن (ı⃗,ȷ⃗)(\vec{\imath},\vec{\jmath}) أساساً للمستوى، و OO نقطة من المستوى.

  • نقول إن (ı⃗,ȷ⃗)(\vec{\imath},\vec{\jmath}) أساس متعامد منظم إذا كان ı⃗⋅ȷ⃗=0\vec{\imath}\cdot\vec{\jmath}=0 و ∥ı⃗∥=∥ȷ⃗∥=1.\|\vec{\imath}\|=\|\vec{\jmath}\|=1.
  • نقول إن (O;ı⃗;ȷ⃗)(O;\vec{\imath};\vec{\jmath}) معلم متعامد منظم إذا كان (ı⃗,ȷ⃗)(\vec{\imath},\vec{\jmath}) أساساً متعامداً منظماً.
  • إذا كان (ı⃗,ȷ⃗)(\vec{\imath},\vec{\jmath}) أساساً متعامداً منظماً و (ı⃗;ȷ⃗^)≡π2[2π](\widehat{\vec{\imath};\vec{\jmath}})\equiv\frac{\pi}{2}[2\pi] فإن (O;ı⃗;ȷ⃗)(O;\vec{\imath};\vec{\jmath}) يُسمّى معلماً متعامداً منظماً مباشراً. في بقية الفصل، نفترض أن المستوى منسوب إلى معلم متعامد منظم مباشر (O;ı⃗;ȷ⃗).(O;\vec{\imath};\vec{\jmath}).

Ⅱ. الصيغة التحليلية للجداء السلمي

خاصية

ليكن u⃗(x;y)\vec{u}(x;y) و v⃗(x′;y′)\vec{v}(x';y') متجهين من المستوى، لدينا u⃗⋅v⃗=xx′+yy′.\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'.

تطبيق ②

احسب u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} في الحالتين التاليتين: ① u⃗(2;−3)\vec{u}(2;-3) و v⃗(−1;2).\vec{v}(-1;2). ② u⃗=(3−1)ı⃗−ȷ⃗\vec{u}=(\sqrt{3}-1)\vec{\imath}-\vec{\jmath} و v⃗=(3+1)ı⃗+2ȷ⃗.\vec{v}=(\sqrt{3}+1)\vec{\imath}+2\vec{\jmath}. استنتج.

خاصية

ليكن u⃗(x;y)\vec{u}(x;y) و v⃗(x′;y′)\vec{v}(x';y') متجهين من المستوى. لدينا u⃗⊥v⃗  ⟺  xx′+yy′=0.\vec{u}\perp\vec{v}\iff xx'+yy'=0.

تطبيق ③

حدّد قيمة mm حتى يكون المتجهان u⃗(3;−1+m)\vec{u}(3;-1+m) و v⃗(2−m;5)\vec{v}(2-m;5) متعامدين.

خاصية

ليكن u⃗(x;y)\vec{u}(x;y) متجهاً من المستوى. معيّار المتجه u⃗\vec{u} هو

∥u⃗∥=u⃗2=x2+y2.\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

لتكن A(xA;yA)A(x_A;y_A) و B(xB;yB)B(x_B;y_B) نقطتين من المستوى، لدينا AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}.

تطبيق ④

نعتبر النقط A(−3;1)A(-3;1) و B(1;1)B(1;1) و C(−3;5).C(-3;5). احسب المسافات ABAB و ACAC و BCBC ثم حدّد طبيعة المثلث ABC.ABC.

Ⅲ. جيب التمام وجيب زاوية موجّهة

خاصية

ليكن u⃗(x;y)\vec{u}(x;y) و v⃗(x′;y′)\vec{v}(x';y') متجهين غير منعدمين من المستوى و θ\theta قياساً للزاوية الموجّهة (u⃗;v⃗^).(\widehat{\vec{u};\vec{v}}). لدينا

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥×∥v⃗∥=xx′+yy′x2+y2×x′2+y′2\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\times\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}}

و

sin⁡θ=det⁡(u⃗;v⃗)∥u⃗∥×∥v⃗∥=xy′−x′yx2+y2×x′2+y′2.\sin\theta=\frac{\det(\vec{u};\vec{v})}{\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|}=\frac{xy'-x'y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\times\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}}.

تطبيق ⑤

نعتبر المتجهين u⃗(−3;−3)\vec{u}(-\sqrt{3};-3) و v⃗(−1;3)\vec{v}(-1;\sqrt{3}) و θ\theta القياس الرئيسي للزاوية (u⃗;v⃗^).(\widehat{\vec{u};\vec{v}}). احسب cos⁡(θ)\cos(\theta) و sin⁡(θ)\sin(\theta) ثم استنتج قيمة θ.\theta.

خاصية

ليكن ABCABC مثلثاً. مساحة المثلث ABCABC هي S=∣det⁡(AB→;AC→)∣2.S=\frac{|\det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})|}{2}.

تطبيق ⑥

نعتبر النقط A(−3;1)A(-3;1) و B(1;1)B(1;1) و C(−5;−1).C(-5;-1).

  1. احسب AB→⋅AC→.\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.
  1. احسب det⁡(AB→;AC→)\det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}) ثم استنتج مساحة المثلث ABC.ABC.
  1. احسب cos⁡(AB→;AC→^)\cos(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}}) و sin⁡(AB→;AC→^).\sin(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}}).

Ⅳ. المستقيم والمتجه العمودي

تطبيق ⑦

لتكن A(1;2)A(1;2) و B(−2;3)B(-2;3) نقطتين من المستوى و (Δ)(\Delta) المستقيم المار من AA والعمودي على (AB).(AB).

  1. أعط معادلة ديكارتية لـ (AB).(AB).
  1. لتكن M(x;y)∈(Δ).M(x;y)\in(\Delta). أ. تحقّق، دون حساب، من أن AM→⋅AB→=0.\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}=0. ب. استنتج معادلة ديكارتية لـ (Δ).(\Delta).

تعريف

ليكن (D)=D(A;u⃗)(D)=D(A;\vec{u}) مستقيماً يمر من النقطة AA ومتجه توجيهه u⃗.\vec{u}. كل متجه غير منعدم وعمودي على u⃗\vec{u} يُسمّى متجهاً عمودياً على المستقيم (D).(D).

خاصية

ليكن (D)(D) مستقيماً معادلته الديكارتية: ax+by+c=0.ax+by+c=0.

  • المتجه n⃗(a;b)\vec{n}(a;b) متجه عمودي على (D).(D).
  • المتجه u⃗(−b;a)\vec{u}(-b;a) متجه توجيه لـ (D).(D).

تطبيق ⑧

أعط متجهاً عمودياً على المستقيم (D)(D) في كل من الحالات التالية: ① (D):−2x+5y+4=0(D):-2x+5y+4=0 ؛ ② (D):2x−1=0(D):2x-1=0 ؛ ③ (D):x−32y+1=0.(D):x-\frac{3}{2}y+1=0.

خاصية

معادلة المستقيم (D)(D) المار من النقطة A(xA;yA)A(x_A;y_A) والمتجه العمودي عليه n⃗(a;b)\vec{n}(a;b) هي a(x−xA)+b(y−yA)=0.a(x-x_A)+b(y-y_A)=0.

مثال

نحدّد معادلة ديكارتية للمستقيم (D)(D) المار من A(1;2)A(1;2) والمتجه العمودي عليه n⃗(5;3).\vec{n}(5;3). لتكن M(x;y)M(x;y) نقطة من المستوى:

M∈(D)  ⟺  AM→⋅n⃗=0  ⟺  5(x−1)+3(y−2)=0  ⟺  5x+3y−11=0.M\in(D)\iff\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0\iff 5(x-1)+3(y-2)=0\iff 5x+3y-11=0.

تطبيق ⑨

حدّد في كل حالة معادلة ديكارتية للمستقيم (D).(D). ① (D)(D) يمر من A(2;3)A(2;3) ومتجهه العمودي n⃗(2;−1).\vec{n}(2;-1). ② (D)(D) هو واسط القطعة [AB][AB] حيث A(3;−1)A(3;-1) و B(−1;5).B(-1;5).

خاصية

ليكن (D)(D) و (D′)(D') مستقيمين ومتجهيهما العموديين n⃗\vec{n} و n⃗′.\vec{n}'. لدينا:

(D)⊥(D′)  ⟺  n⃗⊥n⃗′  ⟺  n⃗⋅n⃗′=0.(D)\perp(D')\iff\vec{n}\perp\vec{n}'\iff\vec{n}\cdot\vec{n}'=0.
  • (D)//(D′)  ⟺  det⁡(n⃗;n⃗′)=0.(D)//(D')\iff\det(\vec{n};\vec{n}')=0.

تطبيق ⑩

ادرس الوضع النسبي للمستقيمين (D)(D) و (D′)(D') المعرّفين بـ (D):2x+y−1=0(D):2x+y-1=0 و (D′):−x+2y+3=0.(D'):-x+2y+3=0.

خاصية

ليكن (D)(D) مستقيماً معادلته ax+by+c=0ax+by+c=0 و A(xA;yA)A(x_A;y_A) نقطة من المستوى. مسافة النقطة AA عن المستقيم (D)(D) هي

d(A;(D))=∣axA+byA+c∣a2+b2.d\bigl(A;(D)\bigr)=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

مثال

نعتبر المستقيم (D)(D) معادلته 4x+3y+1=04x+3y+1=0 والنقطتين A(2;1)A(2;1) و B(−1;1).B(-1;1). لدينا

d(A;(D))=∣2×4+1×3+1∣42+32=125d\bigl(A;(D)\bigr)=\frac{|2\times 4+1\times 3+1|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\frac{12}{5}

و d(B;(D))=0d\bigl(B;(D)\bigr)=0 إذن B∈(D).B\in(D).

تطبيق ⑪

نعتبر المستقيم (D)(D) معادلته x−2y+8=0x-2y+8=0 والنقطة A(−3;5)A(-3;5)، و HH المسقط العمودي لـ AA على (D).(D). 1. حدّد d(A;(D)).d\bigl(A;(D)\bigr). 2. حدّد إحداثيي النقطة H.H.

Ⅴ. الدائرة ومعادلتها الديكارتية

تطبيق ⑫

نعتبر (C)(C) الدائرة ذات المركز Ω(1;1)\Omega(1;1) ونصف القطر 2.2.

  1. من بين النقطتين A(3;1)A(3;1) و B(2;2)B(2;2)، حدّد أيّهما تنتمي إلى الدائرة (C).(C).
  1. لتكن M(x;y)M(x;y) نقطة من المستوى. بيّن أن M∈(C)  ⟺  x2+y2−2x−2y−2=0.M\in(C)\iff x^{2}+y^{2}-2x-2y-2=0.

تعريف

الدائرة (C)(C) ذات المركز Ω(a;b)\Omega(a;b) ونصف القطر RR هي مجموعة النقط MM من المستوى بحيث ΩM=R.\Omega M=R.

خاصية

معادلة ديكارتية للدائرة ذات المركز Ω(a;b)\Omega(a;b) ونصف القطر RR هي (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2} ويمكن كتابتها x2+y2−2ax−2by+c=0x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0 حيث c=a2+b2−R2.c=a^{2}+b^{2}-R^{2}.

تطبيق ⑬

حدّد معادلة للدائرة (C)(C) في كل حالة: ① (C)(C) مركزها Ω(−2;3)\Omega(-2;3) ونصف قطرها 4.4. ② (C)(C) مركزها A(2;3)A(2;3) وتمر من النقطة B(1;−3).B(1;-3).

تطبيق ⑭

حدّد مجموعة النقط M(x;y)M(x;y) من المستوى التي تحقّق المعادلة (E)(E) في الحالات التالية: ① (E):x2+y2−4x−2y+1=0(E):x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0 ؛ ② (E):x2+y2−2x−4y+5=0(E):x^{2}+y^{2}-2x-4y+5=0 ؛ ③ (E):x2+y2−6x+4y+14=0(E):x^{2}+y^{2}-6x+4y+14=0 ؛ ④ (E):x2−x+y2+3y−4=0.(E):x^{2}-x+y^{2}+3y-4=0.

خاصية

لتكن AA و BB نقطتين متمايزتين من المستوى. مجموعة النقط MM من المستوى التي تحقّق AM→⋅BM→=0\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM}=0 هي الدائرة ذات القطر [AB][AB] ومعادلتها الديكارتية (x−xA)(x−xB)+(y−yA)(y−yB)=0.(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0.

تطبيق ⑮

نعتبر النقطتين A(−1;2)A(-1;2) و B(−5;4).B(-5;4). حدّد معادلة للدائرة (C)(C) ذات القطر [AB][AB] بطريقتين.

Ⅵ. التمثيل البارامتري والدائرة والمستقيم

خاصية

الدائرة (C)(C) ذات المركز Ω(a;b)\Omega(a;b) ونصف القطر RR هي مجموعة النقط M(x;y)M(x;y) من المستوى التي تحقّق الجملة

(S):{x=a+Rcos⁡θy=b+Rsin⁡θ/(θ∈R).(S):\begin{cases}x=a+R\cos\theta\\ y=b+R\sin\theta\end{cases}/(\theta\in\mathbb{R}).

تُسمّى الجملة (S)(S) تمثيلاً بارامترياً للدائرة (C).(C).

تطبيق ⑯

  1. حدّد مجموعة النقط M(x;y)M(x;y) من المستوى التي تحقّق الجملة:
{x=−1+2cos⁡θy=3+2sin⁡θ/(θ∈R).\begin{cases}x=-1+2\cos\theta\\ y=3+2\sin\theta\end{cases}/(\theta\in\mathbb{R}).
  1. لتكن (C1)(C_1) الدائرة ذات المركز Ω(−1;2)\Omega(-1;2) ونصف القطر 3.\sqrt{3}. أ. أعط تمثيلاً بارامترياً للدائرة (C1).(C_1). ب. أعط إحداثيي نقطتين من الدائرة (C1).(C_1).
  1. أعط تمثيلاً بارامترياً للدائرة (C2)(C_2) ذات المعادلة x2+y2+4x−6y+9=0.x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0.

خاصية

لتكن (C)(C) دائرة معادلتها x2+y2+ax+by+c=0x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0 و M(x0;y0)M(x_0;y_0) نقطة من المستوى.

  • MM نقطة من الدائرة (C)(C) إذا وفقط إذا كان x02+y02+ax0+by0+c=0.x_0^{2}+y_0^{2}+ax_0+by_0+c=0.
  • MM داخل الدائرة (C)(C) إذا وفقط إذا كان x02+y02+ax0+by0+c<0.x_0^{2}+y_0^{2}+ax_0+by_0+c<0.
  • MM خارج الدائرة (C)(C) إذا وفقط إذا كان x02+y02+ax0+by0+c>0.x_0^{2}+y_0^{2}+ax_0+by_0+c>0.

تطبيق ⑰

  1. حلّ بيانياً المتراجحات التالية: ① x2+y2+2x−6y+9≥0x^{2}+y^{2}+2x-6y+9\geq 0 ؛ ② x2+y2+2y−3<0.x^{2}+y^{2}+2y-3<0.
  1. حلّ بيانياً الجملة:
{x2+y2−2x+2y−7<0x−y+1>0.\begin{cases}x^{2}+y^{2}-2x+2y-7<0\\ x-y+1>0\end{cases}.

خاصية

لتكن (C)(C) دائرة مركزها Ω\Omega ونصف قطرها RR و (D)(D) مستقيماً من المستوى.

  • إذا كان d(Ω;(D))>Rd\bigl(\Omega;(D)\bigr)>R فإن المستقيم (D)(D) لا يقطع الدائرة (C).(C).
  • إذا كان d(Ω;(D))=Rd\bigl(\Omega;(D)\bigr)=R فإن المستقيم (D)(D) والدائرة (C)(C) لهما نقطة مشتركة وحيدة.
  • إذا كان d(Ω;(D))<Rd\bigl(\Omega;(D)\bigr)<R فإن المستقيم (D)(D) يقطع الدائرة (C)(C) في نقطتين متمايزتين.

تطبيق ⑱

ادرس الوضع النسبي للدائرة (C)(C) والمستقيم (D)(D)، مع تحديد إحداثيي نقط التقاطع إن وُجدت، في كل حالة: ① (C):x2+y2+2x−2y=0(C):x^{2}+y^{2}+2x-2y=0 و (D):x+y+2=0(D):x+y+2=0 ؛ ② (C):x2+y2−2x+4y−11=0(C):x^{2}+y^{2}-2x+4y-11=0 و (D):x+y=3(D):x+y=3 ؛ ③ (C):x2+y2+2x−6y=6(C):x^{2}+y^{2}+2x-6y=6 و (D):4x−3y=8.(D):4x-3y=8.

تعريف

لتكن (C)(C) دائرة مركزها Ω\Omega ونصف قطرها RR و AA نقطة من (C).(C). نقول إن مستقيماً (D)(D) مماس لـ (C)(C) في النقطة AA إذا وفقط إذا كان (D)(D) و (ΩA)(\Omega A) متعامدين في النقطة A.A.

خاصية

لتكن (C)(C) دائرة مركزها Ω\Omega و AA نقطة من (C)(C) و MM نقطة من مستقيم (D).(D). يكون (D)(D) مماساً لـ (C)(C) في AA إذا وفقط إذا كان AM→⋅AΩ→=0.\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{A\Omega}=0.

تطبيق ⑲

نعتبر الدائرة (C)(C) ذات المعادلة x2+y2−2x−4y=0.x^{2}+y^{2}-2x-4y=0. 1. تحقّق من أن A(2;4)A(2;4) نقطة من الدائرة (C).(C). 2. حدّد معادلة للمماس للدائرة (C)(C) في A.A.

Ⅶ. تمرين توليفي

تطبيق ⑳

في مستوى منسوب إلى معلم متعامد منظم مباشر (O;ı⃗;ȷ⃗)(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})، نعتبر النقط A(2;−1)A(2;-1) و B(−4;−3)B(-4;-3) و C(1;−3).C(1;-3).

  1. أ. احسب AB→⋅AC→.\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}. ب. احسب cos⁡(AB→;AC→^)\cos(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}}) و sin⁡(AB→;AC→^)\sin(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}}) واستنتج القياس الرئيسي للزاوية (AB→;AC→^).(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}}). ج. احسب مساحة المثلث ABC.ABC.
  1. حدّد معادلة ديكارتية للمستقيم (D)(D) المار من BB والعمودي على (AC).(AC).
  1. نعتبر الدائرة (C)(C) ذات المعادلة x2+y2+2x+4y−5=0.x^{2}+y^{2}+2x+4y-5=0. أ. حدّد نصف القطر وإحداثيي مركز (C).(C). ب. تحقّق من أن (C)(C) هي دائرة القطر [AB].[AB]. ج. أعط معادلة ديكارتية للمستقيم (Δ)(\Delta) المماس لـ (C)(C) في النقطة A.A. د. أعط تمثيلاً بارامترياً لـ (C).(C).
  1. ادرس الوضع النسبي للدائرة (C)(C) والمستقيم (D)(D)، مع تحديد إحداثيي نقط التقاطع إن وُجدت.
  1. حلّ بيانياً الجملة:
{x2+y2+2x+4y−5<0x+2y+10≥0.\begin{cases}x^{2}+y^{2}+2x+4y-5<0\\ x+2y+10\geq 0\end{cases}.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ