سلسلة تطبيقات: التحليلي للجداء السلمي

ليكن $ABC$ مثلثاً قائم الزاوية ومتساوي الساقين في $B$ بحيث $AB=2$ و $AC=\sqrt{8}$ و

احسب الجداءات السلمية $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ و $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ و $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}.$

احسب $\vec{u}\cdot\vec{v}$ في الحالتين التاليتين: ① $\vec{u}(2;-3)$ و $\vec{v}(-1;2).$ ② $\vec{u}=(\sqrt{3}-1)\vec{\imath}-\vec{\jmath}$ و $\vec{v}=(\sqrt{3}+1)\vec{\imath}+2\vec{\jmath}.$ استنتج.

حدّد قيمة $m$ حتى يكون المتجهان $\vec{u}(3;-1+m)$ و $\vec{v}(2-m;5)$ متعامدين.

نعتبر النقط $A(-3;1)$ و $B(1;1)$ و $C(-3;5).$ احسب المسافات $AB$ و $AC$ و $BC$ ثم حدّد طبيعة المثلث $ABC.$

نعتبر المتجهين $\vec{u}(-\sqrt{3};-3)$ و $\vec{v}(-1;\sqrt{3})$ و $\theta$ القياس الرئيسي للزاوية $(\widehat{\vec{u};\vec{v}}).$ احسب $\cos(\theta)$ و $\sin(\theta)$ ثم استنتج قيمة $\theta.$

نعتبر النقط $A(-3;1)$ و $B(1;1)$ و $C(-5;-1).$

1. احسب $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}.$

2. احسب $\det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$ ثم استنتج مساحة المثلث $ABC.$

3. احسب $\cos(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})$ و $\sin(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}}).$

لتكن $A(1;2)$ و $B(-2;3)$ نقطتين من المستوى و $(\Delta)$ المستقيم المار من $A$ والعمودي على $(AB).$

1. أعط معادلة ديكارتية لـ $(AB).$

2. لتكن $M(x;y)\in(\Delta).$ أ. تحقّق، دون حساب، من أن $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AB}=0.$ ب. استنتج معادلة ديكارتية لـ $(\Delta).$

أعط متجهاً عمودياً على المستقيم $(D)$ في كل من الحالات التالية: ① $(D):-2x+5y+4=0$ ؛ ② $(D):x-\frac{3}{2}y+1=0$ ؛ ③ $(D):2x-1=0.$

حدّد في كل حالة معادلة ديكارتية للمستقيم $(D).$ ① $(D)$ يمر من $A(2;3)$ ومتجهه العمودي $\vec{n}(2;-1).$ ② $(D)$ هو واسط القطعة $[AB]$ حيث $A(3;-1)$ و $B(-1;5).$

ادرس الوضع النسبي للمستقيمين $(D)$ و $(D')$ المعرّفين بـ $(D):2x+y-1=0$ و $(D'):-x+2y+3=0.$

نعتبر المستقيم $(D)$ معادلته $x-2y+8=0$ والنقطة $A(-3;5)$، و $H$ المسقط العمودي لـ $A$ على $(D).$ 1. حدّد $d\bigl(A;(D)\bigr).$ 2. حدّد إحداثيي النقطة $H.$

نعتبر $(C)$ الدائرة ذات المركز $\Omega(1;1)$ ونصف القطر $2.$

1. من بين النقطتين $A(3;1)$ و $B(2;2)$، حدّد أيّهما تنتمي إلى الدائرة $(C).$

2. لتكن $M(x;y)$ نقطة من المستوى. بيّن أن $M\in(C)\iff x^{2}+y^{2}-2x-2y-2=0.$

حدّد معادلة للدائرة $(C)$ في كل حالة: ① $(C)$ مركزها $\Omega(-2;3)$ ونصف قطرها $4.$ ② $(C)$ مركزها $A(2;3)$ وتمر من النقطة $B(1;-3).$

حدّد مجموعة النقط $M(x;y)$ من المستوى التي تحقّق المعادلة $(E)$ في الحالات التالية: ① $(E):x^{2}+y^{2}-4x-2y+1=0$ ؛ ② $(E):x^{2}+y^{2}-2x-4y+5=0$ ؛ ③ $(E):x^{2}+y^{2}-6x+4y+14=0$ ؛ ④ $(E):x^{2}-x+y^{2}+3y-4=0.$

نعتبر النقطتين $A(-1;2)$ و $B(-5;4).$ حدّد معادلة للدائرة $(C)$ ذات القطر $[AB]$ بطريقتين.

1. حدّد مجموعة النقط $M(x;y)$ من المستوى التي تحقّق الجملة:

2. لتكن $(C_1)$ الدائرة ذات المركز $\Omega(-1;2)$ ونصف القطر $\sqrt{3}.$ أ. أعط تمثيلاً بارامترياً للدائرة $(C_1).$ ب. أعط إحداثيي نقطتين من الدائرة $(C_1).$

3. أعط تمثيلاً بارامترياً للدائرة $(C_2)$ ذات المعادلة $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0.$

1. حلّ بيانياً المتراجحات التالية: ① $x^{2}+y^{2}+2x-6y+9\geq 0$ ؛ ② $x^{2}+y^{2}+2y-3<0.$

2. حلّ بيانياً الجملة:

ادرس الوضع النسبي للدائرة $(C)$ والمستقيم $(D)$، مع تحديد إحداثيي نقط التقاطع إن وُجدت، في كل حالة: ① $(C):x^{2}+y^{2}+2x-2y=0$ و $(D):x+y+2=0$ ؛ ② $(C):x^{2}+y^{2}-2x+4y-11=0$ و $(D):x+y=3$ ؛ ③ $(C):x^{2}+y^{2}+2x-6y=6$ و $(D):4x-3y=8.$

نعتبر الدائرة $(C)$ ذات المعادلة $x^{2}+y^{2}-2x-4y=0.$ 1. تحقّق من أن $A(2;4)$ نقطة من الدائرة $(C).$ 2. حدّد معادلة للمماس للدائرة $(C)$ في $A.$