مبادئ المنطق

• «العدد $2022$ زوجي» قضية صحيحة.

• «كل مربّع متوازي أضلاع» قضية صحيحة.

• «كل عدد زوجي يقبل القسمة على $4$» قضية خاطئة.

• «$x+y=z$» ليست قضية.

• «$P(x):\ x\in\mathbb{R},\ x^{2}-x<0$» دالة قضوية. $P(0)$ قضية خاطئة لكن $P\!\left(\frac{1}{2}\right)$ قضية صحيحة.

• «$P(n,m):\ n+m=10$ مع $n,m\in\mathbb{N}$» دالة قضوية. $P(4{;}6)$ قضية صحيحة لكن $P(2{;}7)$ قضية خاطئة.

• $P:\ "(\forall x\in\mathbb{R}):\ 2x+1=0"$ قضية خاطئة لأنّه إذا كان $x=0$ فإن $2\times 0+1=0$ خاطئ.

• $Q:\ "(\exists n\in\mathbb{N}):\ 2n-4=0"$ قضية صحيحة لأن العدد الصحيح $n=2$ يحقّق $2n-4=0.$

• $R:\ "(\exists!\,x\in\mathbb{R}):\ x^{2}-2x+1=0"$ قضية صحيحة لأن $1$ هو الحل الوحيد للمعادلة $x^{2}-2x+1=0.$

• القضيتان

و

لهما نفس قيمة الصدق.

• القضيتان

و

ليس لهما نفس قيمة الصدق. الأولى خاطئة والثانية صحيحة.

• نفي القضية $3>2$ هو $3\leq 2.$

• نفي القضية $(-2)^{2}=-4$ هو $(-2)^{2}\neq -4.$

• نفي القضية $-3\in\mathbb{N}$ هو $-3\notin\mathbb{N}.$

• $(\forall x\in\mathbb{R}):\ x\geq 1$ نفيها $(\exists x\in\mathbb{R}):\ x<1$

• $(\exists n\in\mathbb{N}):\ \sqrt{n}\in\mathbb{N}$ نفيها $(\forall n\in\mathbb{N}):\ \sqrt{n}\notin\mathbb{N}$

• $(\forall x\in\mathbb{R}):\ x^{2}+x+1\geq 0$ نفيها $(\exists x\in\mathbb{R}):\ x^{2}+x+1<0$

نفيها $(\exists n\in\mathbb{N})(\forall m\in\mathbb{N}):\ m<n$

• القضية: $(-5\geq 2)$ أو $(5\geq 2)$ صحيحة.

• القضية: $(3+2=6)$ أو $(-3\geq 1)$ خاطئة.

• القضية: $(-5\in\mathbb{R})$ أو ($3$ يقسم $12$) صحيحة.

• القضية: $(\exists x\in\mathbb{R}):\ x^{2}=-1$ أو $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$ خاطئة.

• القضية: $(-5\geq 2)$ و $(5\geq 2)$ خاطئة.

• القضية: $(3+2=6)$ و $(-3\geq 1)$ خاطئة.

• القضية: $(-5\in\mathbb{R})$ و ($3$ يقسم $12$) صحيحة.

• القضية: $(\exists x\in\mathbb{R}):\ x^{2}=-1$ و $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$ خاطئة.

• نفي «$(0\geq 2)$ و $(1+5=3)$» هو: «$(0<2)$ أو $(1+5\neq 3)$».

• نفي «$(5\in\mathbb{N})$ أو $(\forall x\in\mathbb{R}:\ x^{2}>0)$» هو: «$(5\notin\mathbb{N})$ و $(\exists x\in\mathbb{R}:\ x^{2}\leq 0)$».

• القضية $2>1\Rightarrow 2+3=-1$ خاطئة.

• القضية $3\times 2=9\Rightarrow 5-1=20$ صحيحة.

• القضية $(3^{2}=9)\Rightarrow 4-1=3$ صحيحة.

• القضية $2<0\Rightarrow 2+3=5$ صحيحة.

• «$x=2\Rightarrow x^{2}=4$» تعني: «إذا كان $x=2$ فإن $x^{2}=4$» وهي قضية صحيحة.

• «$x^{2}=4\Rightarrow x=2$» هو الاستلزام العكسي لـ «$x=2\Rightarrow x^{2}=4$» وهي قضية خاطئة.

• ليكن $x$ عدداً حقيقياً. نبيّن أن: $|x|\leq 3\Rightarrow |2x-4|\leq 10.$ لدينا:

إذن: $|x|\leq 3\Rightarrow |2x-4|\leq 10.$

ليكن $a$ و $b$ عددين حقيقيين. إذا كان $ab=0$ فإن $a=0$ أو $b=0.$ وبالعكس، إذا كان $a=0$ أو $b=0$ فإن $ab=0.$ إذن لدينا التكافؤ: $ab=0\Leftrightarrow a=0$ أو $b=0.$

لتكن $P$ و $Q$ قضيتين. نبيّن أن

قانون منطقي.

نبيّن أن «$(\forall x\in\mathbb{R}):\ 2x-1=0$» خاطئة. يكفي بيان أن «$(\exists x\in\mathbb{R}):\ 2x-1\neq 0$» صحيحة. من أجل $x=0$: $2\times 0-1\neq 0.$ إذن «$(\exists x\in\mathbb{R}):\ 2x-1\neq 0$» صحيحة، ومنه «$(\forall x\in\mathbb{R}):\ 2x-1=0$» خاطئة.

نبيّن أن

نحاول إثبات

لدينا

لأن $x^{2}+xy+y^{2}+4\neq 0$ لكون $x\in\mathbb{R}^{+}$ و $y\in\mathbb{R}^{+}.$ ومنه $x=y.$

نبيّن أن

لدينا:

نبيّن أن $(\forall x\in\mathbb{R}):\ \sqrt{1+x^{2}}+x>0.$ — إذا كان $x\geq 0$ فإن $\sqrt{1+x^{2}}+x>0$ لأن $\sqrt{1+x^{2}}>0.$ — نفرض أن $x<0.$ لدينا

إذن في جميع حالات $x$، $\sqrt{1+x^{2}}+x>0.$ ومنه $(\forall x\in\mathbb{R}):\ \sqrt{1+x^{2}}+x>0.$

ليكن $n$ عدداً صحيحاً طبيعياً بحيث $n^{2}$ زوجي. نبيّن أن $n$ زوجي: نفرض أن $n$ فردي، إذن $(\exists k\in\mathbb{N}):\ n=2k+1.$ ومنه $n^{2}=4k^{2}+4k+1$ فردي، وهذا يناقض كون $n^{2}$ زوجياً. ومن مبدأ الاستدلال بالخلف، $n$ زوجي.

نبيّن أن $3$ يقسم $4^{n}-1$ لكل $n\in\mathbb{N}.$ من أجل $n=0$، $4^{0}-1=0$ و $3$ يقسم $0.$ إذن الخاصية صحيحة من أجل $n=0.$ ليكن $n\in\mathbb{N}$، نفترض أن $3$ يقسم $4^{n}-1.$ نبيّن أن $3$ يقسم $4^{n+1}-1$: $4^{n+1}-1=4\times 4^{n}-1=3\times 4^{n}+4^{n}-1.$ بحسب فرض التراجع، يوجد عدد صحيح طبيعي $k$ بحيث $4^{n}-1=3k.$ إذن $4^{n+1}-1=3\times 4^{n}+3k=3(4^{n}+k)=3k'$ مع $k'\in\mathbb{N}.$ وهذا يستلزم أن $3$ يقسم $4^{n+1}-1.$ ومن مبدأ التراجع نستنتج أن $3$ يقسم $4^{n}-1$ $(\forall n\in\mathbb{N}).$