Ximath
تسجيل الدخول
سلاسل هذا المستوى

الأولى باك علوم تجريبية

السلسلة 01

سلسلة تطبيقات: مبادئ المنطق

أنشطة وتطبيقات حول القضايا، المكمّمات، النفي، الفصل والعطف، الاستلزام، التكافؤ، والقوانين المنطقية وأنواع الاستدلال.

الدرس 01 — مبادئ المنطق

جزء التطبيقات

نشاط ①

ضع علامة (×)(\times) في الخانة المناسبة:

عبارات رياضيةصحيحخاطئلا يمكن تحديد صدقهليس له معنى
15×215\times 2
12×3+4=2012\times 3+4=20
−6∉N-6\notin\mathbb{N}
22 جذر لكثيرة الحدود P(x)=x2−x−2P(x)=x^{2}-x-2
كل عدد فردي عدد أوّلي
(x∈Z): x+5≥0(x\in\mathbb{Z}):\ x+5\geq 0
ليكن xx و yy من Z\mathbb{Z}، لدينا 2x−y=12x-y=1

تطبيق ①

حدّد صدق كل من القضايا التالية:

P: "(73)2=73"P:\ "\left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{7}{3}"
Q: "3+5×3−5∈N"Q:\ "\sqrt{3}+\sqrt{5}\times\sqrt{3}-\sqrt{5}\in\mathbb{N}"
  • RR: «المعادلة x2−3x+5=0x^{2}-3x+5=0 تقبل حلّين في R\mathbb{R}».

نشاط ②

  1. ضع علامة (×)(\times) في الخانة المناسبة:
قضيةصحيحخاطئ
مربّع كل عدد حقيقي موجب أو معدوم
يوجد عدد حقيقي أصغر قطعاً من 11
كل عدد حقيقي عشري
المعادلة x2=0x^{2}=0 تقبل حلاً حقيقياً وحيداً

تظهر القضايا السابقة على شكل جمل، ويمكن كتابتها باستعمال الرموز. إذا رمزنا لـ «لكل» أو «مهما يكن» بالرمز ∀\forall ولـ «يوجد على الأقل» بالرمز ∃\exists، فإن القضية الأولى من الجدول تصير (∀x∈R): x2≥0(\forall x\in\mathbb{R}):\ x^{2}\geq 0 والثانية (∃x∈R): x<1.(\exists x\in\mathbb{R}):\ x<1. يُسمّى الرمزان ∀\forall و ∃\exists المكمّمات.

نشاط ② (تتمة)

  1. أتمم الجدول التالي باستعمال الرمزين ∀\forall و ∃.\exists.
قضيةقضية باستعمال المكمّمات
كل الأعداد الصحيحة الطبيعية موجبة
(∃x∈R): x2=−1(\exists x\in\mathbb{R}):\ x^{2}=-1
المعادلة 3x−2=03x-2=0 تقبل حلاً حقيقياً
كل عدد حقيقي عشري
(∀x∈R): x2−x+1>0(\forall x\in\mathbb{R}):\ x^{2}-x+1>0
لكل حقيقي xx، يوجد على الأقل عدد صحيح طبيعي nn بحيث x<n+1x<n+1
(∀m∈N)(∃n∈N): m=2n(\forall m\in\mathbb{N})(\exists n\in\mathbb{N}):\ m=2n

تطبيق ②

أعد كتابة القضايا التالية باستعمال المكمّمات المنطقية.

➢ P1P_{1} : «القيمة المطلقة لكل عدد حقيقي غير منعدم موجبة قطعاً».

➢ P2P_{2} : «يوجد على الأقل عدد حقيقي xx بحيث 2x2−3x=02x^{2}-3x=0».

➢ P3P_{3} : «المعادلة x−2x+1=0x-2\sqrt{x}+1=0 تقبل حلاً حقيقياً وحيداً».

➢ P4P_{4} : «كثيرة الحدود P(x)=x3+2x2−3x+1P(x)=x^{3}+2x^{2}-3x+1 تقبل على الأقل جذراً».

➢ P5P_{5} : «لكل عدد حقيقي xx، يوجد على الأقل عدد صحيح NN بحيث N≤x<N+1N\leq x<N+1».

➢ P6P_{6} : «يوجد عدد صحيح مضاعف لجميع الأعداد الأخرى».

تطبيق ③

حدّد قيمة صدق كل من القضايا التالية:

P1: "(∃x∈R): x2+x−1=0"P_{1}:\ "(\exists x\in\mathbb{R}):\ x^{2}+x-1=0"
P2: "(∀x∈R): x2+3x+7<0"P_{2}:\ "(\forall x\in\mathbb{R}):\ x^{2}+3x+7<0"
P3: "(∀x∈R)(∃y∈R): x≤y"P_{3}:\ "(\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R}):\ x\leq y"
P4: "(∃y∈R)(∀x∈R): x≤y"P_{4}:\ "(\exists y\in\mathbb{R})(\forall x\in\mathbb{R}):\ x\leq y"
P5: "(∀y∈R)(∀x∈R): x≤y"P_{5}:\ "(\forall y\in\mathbb{R})(\forall x\in\mathbb{R}):\ x\leq y"
P6: "(∀x∈R)(∀y∈R): x≤y"P_{6}:\ "(\forall x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R}):\ x\leq y"

تطبيق ④

أتمم الجدول التالي:

القضية PPالنفي P‾\overline{P}
(∀x∈R): x2+2x+1≥0(\forall x\in\mathbb{R}):\ x^{2}+2x+1\geq 0
(∀x∈N): x2−2x<0(\forall x\in\mathbb{N}):\ x^{2}-2x<0
(∀x∈Q): x∉Q(\forall x\in\mathbb{Q}):\ \sqrt{x}\notin\mathbb{Q}
(∃x∈R): x∈Q(\exists x\in\mathbb{R}):\ x\in\mathbb{Q}
(∃x∈N): x(\exists x\in\mathbb{N}):\ x زوجي
(∃x∈N)(∀y∈N): x<y(\exists x\in\mathbb{N})(\forall y\in\mathbb{N}):\ x<y
(∀x∈Z)(∃y∈Z): x−y=3(\forall x\in\mathbb{Z})(\exists y\in\mathbb{Z}):\ x-y=3
كل مثلث قائم الزاوية
(∀x∈Q)(∀y∈Z): x×y∈Z(\forall x\in\mathbb{Q})(\forall y\in\mathbb{Z}):\ x\times y\in\mathbb{Z}

تطبيق ⑤

حدّد قيمة صدق كل من القضايا التالية:

  • P1: (3P_{1}:\ (3 فردي)) و (3=5).(3=5).
  • P2: (4×8=20)P_{2}:\ (4\times 8=20) أو (1010 زوجي).
  • P3: (9−3=6)P_{3}:\ (9-3=6) و (−1∈Z).(-1\in\mathbb{Z}).
  • P4: (−4∈N)P_{4}:\ (-4\in\mathbb{N}) أو (∀x∈R: x2+1>0).(\forall x\in\mathbb{R}:\ x^{2}+1>0).

تطبيق ⑥

انفِ القضيتين التاليتين:

P: "(∀x∈R)(∃y∈R): x≤yP:\ "(\forall x\in\mathbb{R})(\exists y\in\mathbb{R}):\ x\leq y

أو x≥y"x\geq y"

Q: "(∃x∈R)(∀y∈R): y2=xQ:\ "(\exists x\in\mathbb{R})(\forall y\in\mathbb{R}):\ y^{2}=x

و x>0"x>0"

تطبيق ⑦

  1. ليكن n∈N.n\in\mathbb{N}. بيّن أن nn زوجي ⇒\Rightarrow n2n^{2} زوجي.
  1. بيّن أن
(∀x∈R+): (11+x=1−x⇒x=0).(\forall x\in\mathbb{R}^{+}):\ \left(\frac{1}{1+\sqrt{x}}=1-\sqrt{x}\Rightarrow x=0\right).

تطبيق ⑧

ليكن xx و yy من R.\mathbb{R}. بيّن أن 1+xy=x+y⇒x=11+xy=x+y\Rightarrow x=1 أو y=1.y=1.

تطبيق ⑨

  1. بيّن أن
(∀x∈R): 3≤x≤5⇒14≤1x−1≤12.(\forall x\in\mathbb{R}):\ 3\leq x\leq 5\Rightarrow \frac{1}{4}\leq \frac{1}{x-1}\leq \frac{1}{2}.
  1. أ. بيّن أن
(∀a∈R)(∀b∈R): a2+b2=0⇒a=b=0.(\forall a\in\mathbb{R})(\forall b\in\mathbb{R}):\ a^{2}+b^{2}=0\Rightarrow a=b=0.

ب. استنتج

(∀x∈R+)(∀y∈R+): x+y+2=2x+2y⇒x=y=1.(\forall x\in\mathbb{R}^{+})(\forall y\in\mathbb{R}^{+}):\ x+y+2=2\sqrt{x}+2\sqrt{y}\Rightarrow x=y=1.

تطبيق ⑩

حدّد قيمة صدق كل من القضايا التالية:

  • P1: 3P_{1}:\ 3 فردي ⇔ 3=5.\Leftrightarrow\ 3=5.
  • P2: 4×8=20⇔10P_{2}:\ 4\times 8=20\Leftrightarrow 10 زوجي.
  • P3: −1∈Z⇔9−3=6.P_{3}:\ -1\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow 9-3=6.
P4: −4∈N⇔(∀x∈R): x2+1>0.P_{4}:\ -4\in\mathbb{N}\Leftrightarrow (\forall x\in\mathbb{R}):\ x^{2}+1>0.

تطبيق ⑪

بيّن أن القضايا التالية قوانين منطقية:

  • P⇔¬(¬P)P\Leftrightarrow \neg(\neg P)
(P⇒Q)⇔(¬Q⇒¬P)(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow (\neg Q\Rightarrow \neg P)
  • ¬(P⇒Q)⇔P\neg(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow P و ¬Q\neg Q
  • [(P⇒Q)[(P\Rightarrow Q) و (Q⇒R)]⇒(P⇒R)(Q\Rightarrow R)]\Rightarrow (P\Rightarrow R)

تطبيق ⑫

بيّن أن القضايا التالية خاطئة:

  • P1: "(∀x∈R): x+1=2"P_{1}:\ "(\forall x\in\mathbb{R}):\ x+1=2"
P2: "(∀x∈R∗): x+1x≥2"P_{2}:\ "(\forall x\in\mathbb{R}^{*}):\ x+\frac{1}{x}\geq 2"
P3: (∀a∈R+)(∀b∈R+): a+b=a+bP_{3}:\ (\forall a\in\mathbb{R}^{+})(\forall b\in\mathbb{R}^{+}):\ \sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}

تطبيق ⑬

  1. بيّن أن:
(∀a∈R)(∀b∈R): a+b>1⇒a>12(\forall a\in\mathbb{R})(\forall b\in\mathbb{R}):\ a+b>1\Rightarrow a>\frac{1}{2}

أو b>12.b>\frac{1}{2}.

  1. بيّن أن:
(∀x>1)(∀y>1): x≠y⇒x1+x2≠y1+y2.(\forall x>1)(\forall y>1):\ x\neq y\Rightarrow \frac{x}{1+x^{2}}\neq \frac{y}{1+y^{2}}.

تطبيق ⑭

  1. بيّن أن:
(∀x≠−1)(∀y≠−1): x1+x=y1+y⇔x=y.(\forall x\neq -1)(\forall y\neq -1):\ \frac{x}{1+x}=\frac{y}{1+y}\Leftrightarrow x=y.
  1. بيّن، لكل xx من R+\mathbb{R}^{+}، أن (2x+2=1+x)⇔(x=1).(\sqrt{2x+2}=1+\sqrt{x})\Leftrightarrow (x=1).
  1. بيّن، لكل xx من [1;+∞[[1{;}+\infty[، أن x−1x≤12.\frac{\sqrt{x}-1}{x}\leq \frac{1}{2}.

تطبيق ⑮

  1. ليكن xx عدداً حقيقياً. بيّن أن: 1+x2=2⇔x=3\sqrt{1+x^{2}}=2\Leftrightarrow x=\sqrt{3} أو x=−3.x=-\sqrt{3}.
  1. بيّن أنه لكل xx من R\mathbb{R}:
∣x−1∣<12⇔25<1x+1<23.|x-1|<\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{2}{5}<\frac{1}{x+1}<\frac{2}{3}.
  1. ليكن a∈[1;+∞[a\in[1{;}+\infty[ و b∈[4;+∞[.b\in[4{;}+\infty[. بيّن أن
a−1+2b−4=a+b2⇔a=2\sqrt{a-1}+2\sqrt{b-4}=\frac{a+b}{2}\Leftrightarrow a=2

و b=8.b=8.

تطبيق ⑯

ليكن n∈N.n\in\mathbb{N}. بيّن أن n2+nn^{2}+n زوجي.

تطبيق ⑰

  1. بيّن أن (∀x∈R): ∣x−1∣≤x2−x+1.(\forall x\in\mathbb{R}):\ |x-1|\leq x^{2}-x+1.
  1. ليكن xx و yy و zz من R∗+\mathbb{R}^{*+} بحيث
x+y+z<1x+1y+1zx+y+z<\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}

و xyz>1.xyz>1. بيّن أن x≠1x\neq 1 و y≠1y\neq 1 و z≠1.z\neq 1.

تطبيق ⑱

  1. بيّن أن (∀n∈N): 2∣5n−3n.(\forall n\in\mathbb{N}):\ 2\mid 5^{n}-3^{n}.
  1. بيّن أن
(∀n∈N): 1+2+3+…+n=n(n+1)2.(\forall n\in\mathbb{N}):\ 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
  1. بيّن أن
(∀n∈N): 1+2+22+…+2n=2n+1−1.(\forall n\in\mathbb{N}):\ 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ