الأولى باك علوم تجريبية

الدرس 05

نهاية دالة

نهاية منتهية ولا نهائية في نقطة، نهايات في ±∞، عمليات على النهايات، نهايات مثلثية، والنهاية والترتيب.

سلسلة التمارين 05 — سلسلة تطبيقات: نهاية دالة

Ⅰ. نهاية منتهية ولا نهائية لدالة في نقطة

نهاية منتهية لدالة في نقطة

مثلث $OAB$ والنقطة المتحركة $M$ على $[OB]$ — مساحة $OAM$ تساوي $f(x)=2x$

تعريف

ليكن $a$ و $\ell$ عددين حقيقيين. لتكن $f$ دالة عددية معرّفة على مجال من الشكل $]a-\alpha{;}a+\alpha[$ أو على مجموعة من الشكل $]a-\alpha{;}a+\alpha[\setminus\{a\}$ حيث $(\alpha\in\mathbb{R}^{*+}).$ إذا آلت $f(x)$ إلى $\ell$ عندما يؤول $x$ إلى $a$ ، نكتب: $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$ أو $\lim_{a}f(x)=\ell.$

خاصية

لتكن $f$ دالة عددية، و $a$ و $\ell$ عددين حقيقيين. إذا قبلت $f$ نهاية $\ell$ في $a$ فإن هذه النهاية وحيدة.

ملاحظات

نصادف أحياناً أثناء حساب بعض النهايات في نقطة $a$ الصيغة غير المحدّدة $\frac{0}{0}.$
الصيغ غير المحدّدة هي $\frac{0}{0}$ و $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ و $+\infty-\infty$ و $0\times\pm\infty.$

مثال

لنحسب $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}.$

لا يمكن حساب هذه النهاية مباشرة لأننا نحصل على الصيغة غير المحدّدة $\frac{0}{0}.$

لدينا

\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{x+1}-2)(\sqrt{x+1}+2)}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\lim_{x\to 3}\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}.

مثال

لنحسب

\lim_{x\to-1}\frac{2x^{3}+2x^{2}+x+1}{x^{2}+3x+2}.

لا يمكن حساب هذه النهاية مباشرة لأننا نحصل على الصيغة غير المحدّدة $\frac{0}{0}.$

القسمة الإقليدية لـ $2x^{3}+2x^{2}+x+1$ و $x^{2}+3x+2$ على $x+1$ تعطي: $2x^{3}+2x^{2}+x+1=(x+1)(2x^{2}+1)$ و $x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).$

إذن

\lim_{x\to-1}\frac{2x^{3}+2x^{2}+x+1}{x^{2}+3x+2}=\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(2x^{2}+1)}{(x+1)(x+2)}=\lim_{x\to-1}\frac{2x^{2}+1}{x+2}=\frac{2(-1)^{2}+1}{-1+2}=3.

تطبيق ①

احسب النهايات التالية:

① $\lim_{x\to 1}\frac{x+4}{x+5}$ ② $\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x^{2}-4}$ ③ $\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-4x}$ ④ $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

⑤ $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-x-2}{x^{2}-3x+2}$ ⑥ $\lim_{x\to 1}\frac{3x^{3}-4x+1}{x^{2}-4x+3}$ ⑦ $\lim_{x\to 1}\frac{3x^{2}-5x+2}{\sqrt{x}-1}$ ⑧ $\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x-1}-2}{3-\sqrt{x+4}}$

أ. نهاية لا نهائية لدالة في نقطة

تعريف

لتكن $f$ دالة عددية، و $a$ و $\ell$ عددين حقيقيين.

إذا آلت $f(x)$ إلى $+\infty$ عندما يؤول $x$ إلى $a$ ، نكتب: $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ أو $\lim_{a}f(x)=+\infty.$
إذا آلت $f(x)$ إلى $-\infty$ عندما يؤول $x$ إلى $a$ ، نكتب: $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$ أو $\lim_{a}f(x)=-\infty.$

نهاية على اليمين وعلى اليسار لدالة في نقطة

تعريف

لتكن $f$ دالة عددية و $a$ عدداً حقيقياً.

نهاية $f$ على اليمين في $a$ ، ونرمز لها بـ $\lim_{\substack{x\to a\\x>a}}f(x)$ أو $\lim_{x\to a^{+}}f(x)$ ، هي نهاية $f$ عندما يأخذ $x$ قيماً أقرب فأقرب وأكبر من $a.$
نهاية $f$ على اليسار في $a$ ، ونرمز لها بـ $\lim_{\substack{x\to a\\x<a}}f(x)$ أو $\lim_{x\to a^{-}}f(x)$ ، هي نهاية $f$ عندما يأخذ $x$ قيماً أقرب فأقرب وأصغر من $a.$

خاصية — نهايات مُسلَّم بها

نسلّم بالنهايات التالية:

\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\frac{1}{x}=+\infty

\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}\frac{1}{x}=-\infty

$\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\sqrt{x}=0$

\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty

(\forall n\in\mathbb{N}^{*})\ \lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\frac{1}{x^{n}}=+\infty

إذا كان $n$ زوجياً فإن

\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}\frac{1}{x^{n}}=+\infty.

إذا كان $n$ فردياً فإن

\lim_{\substack{x\to 0\\x<0}}\frac{1}{x^{n}}=-\infty.

مثال

لنحسب $\lim_{x\to 3^{+}}\frac{x+2}{3x-x^{2}}$ و $\lim_{x\to 3^{-}}\frac{x+2}{3x-x^{2}}.$

جدول إشارة $3x-x^{2}$ هو:

x

-\infty

0

3

+\infty

3x-x^{2}

0

0

مثال (تتمة)

ولدينا $\lim_{x\to 3^{+}}(x+2)=5$ و $\lim_{x\to 3^{+}}(3x-x^{2})=0^{-}.$ إذن $\lim_{x\to 3^{+}}\frac{x+2}{3x-x^{2}}=-\infty.$

ولدينا $\lim_{x\to 3^{-}}(3x-x^{2})=0^{+}.$ إذن $\lim_{x\to 3^{-}}\frac{x+2}{3x-x^{2}}=+\infty.$

تطبيق ②

احسب النهايات التالية:

① $\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x+3}{x-2}$ ② $\lim_{x\to 2^{-}}\frac{x+3}{x-2}$ ③ $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-x}$ ④ $\lim_{x\to 2^{-}}\frac{4x^{2}-x+5}{x-4}$

⑤ $\lim_{x\to-1^{+}}\frac{3x-2x^{2}}{x-x^{3}}$ ⑥ $\lim_{x\to 1^{-}}\frac{2x+3}{1-x^{2}}$ ⑦

\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x^{2}-1}{\lvert x-1\rvert}

⑧

\lim_{x\to\frac{1}{2}^{+}}\frac{3x^{2}-x-1}{1-2x}

مبرهنة

لتكن $f$ دالة عددية. لدينا: $\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\ell$ و

\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\ell\iff\lim_{x\to a}f(x)=\ell.

ملاحظات

تبقى المبرهنة صحيحة إذا كان $\ell$ عدداً حقيقياً أو $+\infty$ أو $-\infty.$
إذا كان $\lim_{x\to a^{-}}f(x)=\ell$ و $\lim_{x\to a^{+}}f(x)=\ell'$ بحيث $\ell\neq\ell'$ نقول إن $f$ ليس لها نهاية في $a.$

مثال

لتكن $f$ الدالة المعرّفة بـ

\begin{cases}f(x)=-x+1&;\,x\ge 3\\f(x)=x^{2}-4x+1&;\,x<3\end{cases}.

لدينا

\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{+}}(-x+1)=-2

\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}(x^{2}-4x+1)=-2.

بما أن $\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}f(x)=-2$ ، فإن $f$ لها نهاية في $3$ ولدينا $\lim_{x\to 3}f(x)=-2.$

تطبيق ③

نعتبر الدالة $f$ المعرّفة بـ

\begin{cases}f(x)=\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}&;\,x<1\\f(x)=\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}&;\,x>1\end{cases}.

احسب $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$ و $\lim_{x\to 1^{+}}f(x).$ استنتج.

نعتبر الدالة $g$ المعرّفة بـ

\begin{cases}g(x)=\frac{x^{2}+1}{-x+3}&;\,x\le 2\\g(x)=1-ax^{2}&;\,x>2\end{cases}.

حدّد قيمة لـ $a$ تقبل من أجلها $g$ نهاية في $2.$

Ⅱ. نهاية منتهية ولا نهائية لدالة في $+\infty$ أو في $-\infty$

منحنى الدالة $x\mapsto x^{3}$ — المنحنى $(C_{f})$ حيث $f(x)=x^{3}$

خاصية

ليكن $n\in\mathbb{N}^{*}$ و $k\in\mathbb{R}^{*}.$ نسلّم بالنهايات التالية:

$\lim_{x\to+\infty}x^{n}=+\infty$

\lim_{x\to-\infty}x^{n}=\begin{cases}+\infty&;\,n\text{ زوجي}\\-\infty&;\,n\text{ فردي}\end{cases}

\lim_{x\to+\infty}kx^{n}=\begin{cases}+\infty&;\,k>0\\-\infty&;\,k<0\end{cases}

\lim_{x\to-\infty}kx^{n}=\begin{cases}+\infty&;\,(k>0\text{ و }n\text{ زوجي})\text{ أو }(k<0\text{ و }n\text{ فردي})\\-\infty&;\,(k<0\text{ و }n\text{ زوجي})\text{ أو }(k>0\text{ و }n\text{ فردي})\end{cases}.

منحنى الدالة $x\mapsto 1/x^{2}$ — المنحنى $(C_{f})$ حيث $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$

خاصية

ليكن $n\in\mathbb{N}^{*}$ و $k\in\mathbb{R}^{*}.$ نسلّم بالنهايات التالية: $\lim_{x\to+\infty}\frac{k}{x^{n}}=0$ و $\lim_{x\to-\infty}\frac{k}{x^{n}}=0.$

مثال

لنحسب النهايتين: $\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}+5}{4x^{2}}$ و $\lim_{x\to-\infty}\frac{-3x^{3}+x}{x^{3}}.$

خاصية

ليكن $P$ و $Q$ دالتين كثيرتي حدود و $a$ عدداً حقيقياً. إذا كان $ax^{n}$ و $bx^{m}$ على التوالي حدّي أعلى درجة لكثيرتي الحدود $P$ و $Q$ ، فإن: $\lim_{x\to-\infty}P(x)=\lim_{x\to-\infty}ax^{n}$ ؛ $\lim_{x\to+\infty}P(x)=\lim_{x\to+\infty}ax^{n}$ ؛

\lim_{x\to+\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{ax^{n}}{bx^{m}}

\lim_{x\to-\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=\lim_{x\to-\infty}\frac{ax^{n}}{bx^{m}}.

تطبيق ④

احسب النهايات التالية:

$\lim_{x\to+\infty}(1+5x^{2}+8x)$
$\lim_{x\to-\infty}(-5x^{3}+1)$

\lim_{x\to-\infty}\bigl(x+(1-\sqrt{2})x^{2}+4\bigr)

\lim_{x\to+\infty}\frac{4+2x^{3}}{3x^{3}+5x^{2}+1}

\lim_{x\to-\infty}\frac{(2-\sqrt{3})x^{3}-x^{2}}{2x^{2}-3}

\lim_{\lvert x\rvert\to+\infty}\frac{\lvert x\rvert-3x}{\lvert x+5\rvert}

خاصية

لتكن $f$ دالة عددية معرّفة على مجال من الشكل $[a{;}+\infty[$ حيث $(a\in\mathbb{R})$ بحيث $(\forall x\in[a{;}+\infty[):f(x)\ge 0.$

إذا كان $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ و $\ell\ge 0$ ، فإن $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{f(x)}=\sqrt{\ell}.$
إذا كان $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$ ، فإن $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{f(x)}=+\infty.$

ملاحظة

تبقى هذه الخاصية صحيحة أيضاً عندما يؤول $x$ إلى $-\infty$ أو إلى عدد حقيقي $a$ أو على اليمين في $a$ أو على اليسار في $a.$

تطبيق ⑤

احسب النهايات التالية:

① $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+2x+5}$ ② $\lim_{x\to-\infty}\sqrt{3x^{2}-5x+1}$ ③ $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{x-4}{x+1}}$

Ⅲ. عمليات على النهايات

في كل ما يلي، $a$ عدد حقيقي أو $+\infty$ أو $-\infty$ ، و $\ell$ و $\ell'$ عددان حقيقيان. تبقى هذه النتائج صحيحة للنهايات على اليمين وعلى اليسار في $a.$

جدول عمليات على النهايات

$\lim f$	$\lim g$	$\lim(f+g)$	$\lim(fg)$	$\lim(f/g)$
$\ell$	$\ell'\neq 0$	$\ell+\ell'$	$\ell\ell'$	$\ell/\ell'$
$\ell>0$	$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$0$
$\ell<0$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$+\infty$	$F.I$
$-\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$F.I$
$+\infty$	$-\infty$	$F.I$	$-\infty$	$F.I$
$0$	$\pm\infty$	$\pm\infty$	$F.I$	$0$
$+\infty$	$0$	$+\infty$	$F.I$	$\pm\infty$
$0$	$0$	$0$	$0$	$F.I$
$\ell\neq 0$	$0$	$\ell$	$0$	$\pm\infty$

تطبيق ⑥

احسب النهايات التالية:

①

\lim_{x\to 0^{+}}\left(3x+7+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)

②

\lim_{x\to-\infty}\left(-3+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{2}{x}\right)

③

\lim_{x\to-\infty}\frac{1+\frac{4}{x^{3}}}{2-x^{5}}

④ $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+5x-3}}{x}$ ⑤

\lim_{x\to+\infty}\bigl(\sqrt{4x^{2}-x+3}-2x+1\bigr)

⑥ $\lim_{x\to-\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+x}+x\bigr)$

Ⅳ. نهاية دوال مثلثية

خاصية

$\lim_{x\to a}\cos(x)=\cos(a)$
$\lim_{x\to a}\sin(x)=\sin(a)$
$\lim_{x\to a}\tan(x)=\tan(a)$ إذا كان $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ حيث $k\in\mathbb{Z}.$

أمثلة

\lim_{x\to\frac{\pi}{6}}\sin x=\frac{1}{2}

\lim_{x\to-\frac{\pi}{4}}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}

؛ $\lim_{x\to\pi}\tan x=0$ ؛ $\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\tan x=\sqrt{3}.$

ملاحظات

الدوال $x\mapsto\sin(x)$ و $x\mapsto\cos(x)$ و $x\mapsto\tan(x)$ ليس لها نهاية في $\pm\infty.$
$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{-}}\tan x=+\infty$ و $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^{+}}\tan x=-\infty.$

خاصية — نهايات معيارية

ليكن $a$ عدداً حقيقياً غير منعدم، لدينا: $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{ax}=1$ ؛

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(ax)}{(ax)^{2}}=\frac{1}{2}

\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(ax)}{ax^{2}}=\frac{a}{2}.

مثال

لنحسب $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}.$

لدينا

\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{x}=\lim_{x\to 0}5\cdot\frac{\sin 5x}{5x}=5\times 1=5.

تطبيق ⑦

احسب النهايات التالية:

① $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\tan 5x}$ ② $\lim_{x\to 0}\frac{\tan 2x}{x}$ ③ $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{4x}$ ④ $\lim_{x\to 2}\frac{\sin(x-2)}{x-2}$

⑤ $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{x}$ ⑥ $\lim_{x\to 1}\frac{\tan(\pi x)}{x-1}$ ⑦

\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{x-\frac{\pi}{4}}

⑧

\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}

Ⅴ. النهايات والترتيب

خاصية

ليكن $a$ و $\ell$ عددين حقيقيين و $I=[a{;}+\infty[.$ لتكن $f$ و $g$ و $h$ دوالاً عددية معرّفة على $I.$

إذا كان

\begin{cases}(\forall x\in I)\ g(x)\le f(x)\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty\end{cases}

فإن $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.$

إذا كان

\begin{cases}(\forall x\in I)\ g(x)\ge f(x)\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\end{cases}

فإن $\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.$

إذا كان

\begin{cases}(\forall x\in I)\ \lvert f(x)-\ell\rvert\le g(x)\lim_{x\to+\infty}g(x)=0\end{cases}

فإن $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell.$

إذا كان

\begin{cases}(\forall x\in I)\ g(x)\le f(x)\le h(x)\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}h(x)=\ell\end{cases}

فإن $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell.$

ملاحظة

تبقى هذه الخصائص صحيحة أيضاً عندما يؤول $x$ إلى $-\infty$ أو إلى عدد حقيقي $a$ أو على اليمين في $a$ أو على اليسار في $a.$

تطبيق ⑧

أ. بيّن أن:

(\forall x\in\mathbb{R})\ \frac{1}{3}\le\frac{1}{2-\cos x}\le 1.

ب. احسب النهايتين: $\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2-\cos x}$ و $\lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{2-\cos x}.$

نعتبر الدالة $f$ المعرّفة على $\mathbb{R}^{*}$ بـ: $f(x)=x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)+2.$ تحقّق من أن:

(\forall x\in\mathbb{R}^{*})\ \lvert f(x)-2\rvert\le\lvert x\rvert

ثم استنتج $\lim_{x\to 0}f(x).$

نهاية دالة

Ⅰ. نهاية منتهية ولا نهائية لدالة في نقطة

نهاية منتهية لدالة في نقطة

أ. نهاية لا نهائية لدالة في نقطة

نهاية على اليمين وعلى اليسار لدالة في نقطة

Ⅱ. نهاية منتهية ولا نهائية لدالة في +∞+\infty+∞ أو في −∞-\infty−∞

Ⅲ. عمليات على النهايات

Ⅳ. نهاية دوال مثلثية

Ⅴ. النهايات والترتيب

Ⅱ. نهاية منتهية ولا نهائية لدالة في $+\infty$ أو في $-\infty$