سلسلة تطبيقات: نهاية دالة

احسب النهايات التالية:

• $\lim_{x\to 1}\frac{x+4}{x+5}$
• $\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x^{2}-4}$

• $\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+3x}{x^{2}-4x}$
• $\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}$

• $\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-x-2}{x^{2}-3x+2}$
• $\lim_{x\to 1}\frac{3x^{3}-4x+1}{x^{2}-4x+3}$

• $\lim_{x\to 1}\frac{3x^{2}-5x+2}{\sqrt{x}-1}$
• $\lim_{x\to 5}\frac{\sqrt{x-1}-2}{3-\sqrt{x+4}}$

احسب النهايات التالية:

• $\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x+3}{x-2}$
• $\lim_{x\to 2^{-}}\frac{x+3}{x-2}$

• $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-x}$
• $\lim_{x\to 2^{-}}\frac{4x^{2}-x+5}{x-4}$

• $\lim_{x\to-1^{+}}\frac{3x-2x^{2}}{x-x^{3}}$
• $\lim_{x\to 1^{-}}\frac{2x+3}{1-x^{2}}$

1. نعتبر الدالة $f$ المعرّفة بـ

احسب $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$ و $\lim_{x\to 1^{+}}f(x).$ استنتج.

2. نعتبر الدالة $g$ المعرّفة بـ

حدّد قيمة لـ $a$ تقبل من أجلها $g$ نهاية في $2.$

احسب النهايات التالية:

• $\lim_{x\to+\infty}(1+5x^{2}+8x)$
• $\lim_{x\to-\infty}(-5x^{3}+1)$

احسب النهايات التالية:

• $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+2x+5}$
• $\lim_{x\to-\infty}\sqrt{3x^{2}-5x+1}$

• $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{4x+1}{x-1}}$

احسب النهايات التالية:

• $\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+5x-3}}{x}$

• $\lim_{x\to-\infty}\bigl(\sqrt{x^{2}+x}+x\bigr)$

احسب النهايات التالية:

• $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{\tan 5x}$
• $\lim_{x\to 0}\frac{\tan 2x}{x}$

• $\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{4x}$
• $\lim_{x\to 2}\frac{\sin(x-2)}{x-2}$

• $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{x}$
• $\lim_{x\to 1}\frac{\tan(\pi x)}{x-1}$

1. أ. بيّن أن:

ب. احسب النهايتين: $\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2-\cos x}$ و $\lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{2-\cos x}.$

2. نعتبر الدالة $f$ المعرّفة على $\mathbb{R}^{*}$ بـ: $f(x)=x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)+2.$ تحقّق من أن:

ثم استنتج $\lim_{x\to 0}f(x).$