Ximath
تسجيل الدخول
دروس هذا المستوى

الأولى باك علوم تجريبية

الدرس 04

عموميات حول الدوال العددية

دالة محدودة من فوق ومن تحت، القيم القصوى، الدورية، مقارنة دالتين، صورة مجال، الزوجية والرتابة، وتركيب دالتين مع دوال مرجعية.

سلسلة التمارين 04 — سلسلة تمارين: عموميات حول الدوال العددية

Ⅰ. دالة محدودة من فوق — من تحت — محدودة

تعريف

لتكن ff دالة معرّفة على مجال I.I. نقول إن:

  • ff محدودة من فوق على II إذا وُجد عدد حقيقي MM بحيث (∀x∈I): f(x)≤M.(\forall x\in I):\ f(x)\leq M.
  • ff محدودة من تحت على II إذا وُجد عدد حقيقي mm بحيث (∀x∈I): m≤f(x).(\forall x\in I):\ m\leq f(x).
  • ff محدودة على II إذا وُجد عددان حقيقيان MM و mm بحيث (∀x∈I): m≤f(x)≤M.(\forall x\in I):\ m\leq f(x)\leq M.

مثال

نعتبر الدالة f:x↦1−1x.f: x\mapsto 1-\frac{1}{x}.

  • ff محدودة من فوق على ]0;+∞[]0{;}+\infty[ بالعدد 1.1. فعلاً
(∀x∈]0;+∞[): f(x)−1=−1x(\forall x\in ]0{;}+\infty[):\ f(x)-1=-\frac{1}{x}

و −1x<0.-\frac{1}{x}<0.

  • ff محدودة من تحت على ]−∞;0[]-\infty{;}0[ بالعدد 1.1. فعلاً
(∀x∈]−∞;0[): f(x)−1=−1x(\forall x\in ]-\infty{;}0[):\ f(x)-1=-\frac{1}{x}

و −1x>0.-\frac{1}{x}>0.

ملاحظات

لتكن ff دالة معرّفة على مجال II من R\mathbb{R} و (Cf)(C_{f}) منحناها. ✓ إذا كانت ff محدودة من فوق بعدد MM على II، فإن (Cf)(C_{f}) يوجد تحت المستقيم ذي المعادلة y=My=M على I.I. ✓ إذا كانت ff محدودة من تحت بعدد mm على II، فإن (Cf)(C_{f}) يوجد فوق المستقيم ذي المعادلة y=my=m على I.I.

منحنى دالة محصور بين المستقيمين y=M و y=m

تطبيق ①

نعتبر الدالتين ff و gg المعرّفتين على التوالي بـ f(x)=3−1−2xf(x)=3-\sqrt{1-2x} و g(x)=x2+4.g(x)=\sqrt{x^{2}+4}.

حدّد DfD_{f} و Dg.D_{g}.

بيّن أن ff محدودة من فوق بالعدد 33 على Df.D_{f}.

بيّن أن gg محدودة من تحت بالعدد 22 على Dg.D_{g}.

قيم قصوى لدالة

تعريف

لتكن ff دالة معرّفة على مجال II و aa عنصراً من I.I. نقول إن:

  • f(a)f(a) هي القيمة الدنيا (أو الأصغرية) لـ ff على II إذا كان (∀x∈I): f(x)≥f(a).(\forall x\in I):\ f(x)\geq f(a).
  • f(a)f(a) هي القيمة القصوى (أو الأعظمية) لـ ff على II إذا كان (∀x∈I): f(x)≤f(a).(\forall x\in I):\ f(x)\leq f(a).
  • f(a)f(a) قيمة قصوى لـ ff على II إذا كانت القيمة القصوى أو الدنيا لـ ff على I.I.

مثال

−3-3 هي القيمة الدنيا للدالة f:x↦x2−4x+1f: x\mapsto x^{2}-4x+1 على R.\mathbb{R}. فعلاً:

(∀x∈R): f(x)−(−3)=(x−2)2≥0(\forall x\in\mathbb{R}):\ f(x)-(-3)=(x-2)^{2}\geq 0

و f(2)=−3.f(2)=-3.

تطبيق ②

لتكن ff دالة عددية معرّفة بـ f(x)=x+4x.f(x)=x+\frac{4}{x}.

  1. حدّد DfD_{f} مجموعة تعريف f.f.
  1. أ. احسب f(2).f(2). ب. بيّن أن ff محدودة من تحت بالعدد 44 على ]0;+∞[.]0{;}+\infty[. استنتج.
  1. بيّن أن −4-4 هي القيمة القصوى لـ ff على ]−∞;0[.]-\infty{;}0[.

Ⅱ. الدوال الدورية

منحنى دالة دورية دورها 4

تعريف

لتكن ff دالة معرّفة على DD و TT عدداً حقيقياً موجباً قطعاً. نقول إن ff دورية (دورها TT) على DD إذا:

  • x+T∈Dx+T\in D لكل xx من D.D.
  • f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x) لكل xx من D.D.

أمثلة

  • الدالتان x↦sin⁡(x)x\mapsto\sin(x) و x↦cos⁡(x)x\mapsto\cos(x) دوريتان دورهما 2π.2\pi.
  • الدالة x↦tan⁡(x)x\mapsto\tan(x) دورية دورها π.\pi.

تطبيق ③

نعتبر الدالتين ff و gg المعرّفتين على R\mathbb{R} على التوالي بـ f(x)=cos⁡2(x)f(x)=\cos^{2}(x) و g(x)=sin⁡(2πx).g(x)=\sin(2\pi x). بيّن أن ff و gg دوريتان دورهما على التوالي π\pi و 1.1.

Ⅲ. مقارنة دالتين

تعريف

لتكن ff و gg دالتين معرّفتين على نفس المجموعة D.D. نقول إن:

  • ff و gg متساويتان على DD إذا وفقط إذا (∀x∈D): f(x)=g(x).(\forall x\in D):\ f(x)=g(x).
  • ff أكبر من أو تساوي gg على DD إذا وفقط إذا (∀x∈D): f(x)≥g(x)(\forall x\in D):\ f(x)\geq g(x) ونكتب f≥g.f\geq g.

مثال

لتكن ff و gg دالتين معرّفتين على R∗\mathbb{R}^{*} بـ f(x)=x+1+1x2+2f(x)=x+1+\frac{1}{x^{2}+2} و g(x)=x+1.g(x)=x+1. لدينا

(∀x∈R∗): f(x)−g(x)=1x2+2>0.(\forall x\in\mathbb{R}^{*}):\ f(x)-g(x)=\frac{1}{x^{2}+2}>0.

إذن f>gf>g على R∗.\mathbb{R}^{*}.

تفسير مبياني

لتكن ff و gg دالتين و DD مجموعة ضمن Df∩Dg.D_{f}\cap D_{g}. ✓ إذا كان f>gf>g على DD فإن (Cf)(C_{f}) فوق (Cg)(C_{g}) قطعاً على D.D. ✓ إذا كان f≤gf\leq g على DD فإن (Cf)(C_{f}) تحت (Cg)(C_{g}) على D.D.

تطبيق ④

نعتبر الدالتين ff و gg المعرّفتين على R\mathbb{R} بـ f(x)=x2−2x+1f(x)=x^{2}-2x+1 و g(x)=−2x2+4x+1.g(x)=-2x^{2}+4x+1.

  1. ادرس إشارة f(x)−g(x)f(x)-g(x) على R.\mathbb{R}.
  1. استنتج مقارنة بين ff و gg على R.\mathbb{R}.

تطبيق ⑤

لتكن ff و gg دالتين معرّفتين على R\mathbb{R} بمنحنييهما جانبه.

منحنيان (C_f) و (C_g) لحل معادلات ومتراجحات مبيانياً
  1. حلّ مبيانياً المعادلات: f(x)=2f(x)=2 ؛ f(x)=0f(x)=0 ؛ f(x)=g(x).f(x)=g(x).
  1. حلّ مبيانياً المتراجحات: f(x)<2f(x)<2 ؛ g(x)≥0g(x)\geq 0 ؛ f(x)>g(x).f(x)>g(x).

Ⅳ. صورة مجال بدالة

تعريف

لتكن ff دالة معرّفة على مجال I.I. مجموعة قيم f(x)f(x) حيث x∈Ix\in I تُسمّى صورة المجال II بالدالة ff ونرمز لها بـ f(I).f(I). بعبارة أخرى: f(I)={f(x) / x∈I}.f(I)=\{f(x)\,/\,x\in I\}.

مثال

يمثّل الشكل جانبه المنحنى الممثّل لدالة ff معرّفة على [−2;4].[-2{;}4]. عندما يتغيّر xx على [−2;−1][-2{;}-1] تتغيّر f(x)f(x) على [0;1].[0{;}1]. ولدينا أيضاً:

منحنى دالة على [-2;4] لقراءة صور المجالات
  • f([0;1])=[0;2]f([0{;}1])=[0{;}2]
  • f([1;3])=[−1;2]f([1{;}3])=[-1{;}2]
  • f([1;4])=[−1;2]f([1{;}4])=[-1{;}2]
  • f([0;3[)=]−1;2]f([0{;}3[)=]-1{;}2]
  • f(]−1;1[)=[0;2[f(]-1{;}1[)=[0{;}2[
  • f(]−2;4[)=[−1;2]f(]-2{;}4[)=[-1{;}2]

خاصيات

لتكن ff دالة معرّفة على مجال [a;b].[a{;}b]. ✓ إذا كانت ff تزايدية على [a;b][a{;}b] فإن: f([a;b])=[f(a);f(b)].f([a{;}b])=[f(a){;}f(b)]. ✓ إذا كانت ff تناقصية على [a;b][a{;}b] فإن: f([a;b])=[f(b);f(a)].f([a{;}b])=[f(b){;}f(a)]. ✓ إذا غيّرت ff رتابتها على [a;b][a{;}b] فإن: f([a;b])=[m;M]f([a{;}b])=[m{;}M] حيث mm القيمة الدنيا و MM القيمة القصوى لـ ff على [a;b].[a{;}b].

تطبيق ⑥

لتكن ff دالة جدول تغيّراتها كالتالي. حدّد: f([−4;0])f([-4{;}0]) ؛ f([0;1])f([0{;}1]) ؛ f([0;2])f([0{;}2]) ؛ f([−4;1])f([-4{;}1]) ؛ f(]1;+∞[).f(]1{;}+\infty[).

Ⅴ. الزوجية والرتابة — الدوال f+kf+k و λf\lambda f

خاصيات

لتكن ff دالة عددية معرّفة على مجال II و λ\lambda عدداً حقيقياً.

  • للدالتين ff و f+kf+k نفس منحى التغيّرات على I.I.
  • إذا كان λ>0\lambda>0 فإن ff و λf\lambda f لهما نفس منحى التغيّرات على I.I.
  • إذا كان λ<0\lambda<0 فإن ff و λf\lambda f لهما منحيَا تغيّرات متعاكسان على I.I.

تطبيق ⑦

لتكن ff دالة معرّفة على [−3;3][-3{;}3] بمنحناها جانبه. أعط جدول تغيّرات الدوال ff و f+2f+2 و −3f.-3f.

منحنى دالة على [-3;3]

Ⅵ. تركيب دالتين

تعريف

لتكن gg دالة معرّفة على مجال JJ و ff دالة معرّفة على مجال II بحيث لكل x∈Ix\in I لدينا f(x)∈J.f(x)\in J. الدالة المركّبة لـ ff و gg بهذا الترتيب، ونرمز لها بـ g∘fg\circ f، هي الدالة المعرّفة لكل x∈Ix\in I بـ (g∘f)(x)=g(f(x)).(g\circ f)(x)=g(f(x)).

  • x∈Dg∘f⇔x∈Dfx\in D_{g\circ f}\Leftrightarrow x\in D_{f} و f(x)∈Dg.f(x)\in D_{g}.
  • عموماً، g∘f≠f∘g.g\circ f\neq f\circ g.

مثال

لتكن f:x↦x2f: x\mapsto x^{2} معرّفة على Df=RD_{f}=\mathbb{R} و g:x↦2xx−4g: x\mapsto\frac{2x}{x-4} معرّفة على Dg=R∖{4}.D_{g}=\mathbb{R}\setminus\{4\}.

مجموعة تعريف g∘fg\circ f: x∈Dg∘f⇔x∈Rx\in D_{g\circ f}\Leftrightarrow x\in\mathbb{R} و x2≠4⇔x≠−2x^{2}\neq 4\Leftrightarrow x\neq -2 و x≠2.x\neq 2. إذن Dg∘f=]−∞;−2[∪]2;+∞[.D_{g\circ f}=]-\infty{;}-2[\cup ]2{;}+\infty[.

تعبير المركّبة:

∀x∈]−∞;−2[∪]2;+∞[: (g∘f)(x)=g(x2)=2x2x2−4.\forall x\in ]-\infty{;}-2[\cup ]2{;}+\infty[:\ (g\circ f)(x)=g(x^{2})=\frac{2x^{2}}{x^{2}-4}.

تطبيق ⑧

  1. لتكن ff و gg دالتين عدديتين معرّفتين بـ f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} و g(x)=2x+33x−6.g(x)=\frac{2x+3}{3x-6}. أ. حدّد DfD_{f} و DgD_{g} و Dg∘f.D_{g\circ f}. ب. أعط تعبير الدالة g∘f.g\circ f.
  1. اكتب الدالة hh المعرّفة على R+\mathbb{R}^{+} بـ h(x)=x−2x+5h(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+5} على شكل مركّبة.

خاصية — رتابة المركّبة

لتكن ff و gg دالتين عدديتين معرّفتين على التوالي على المجالين II و JJ بحيث f(I)⊂J.f(I)\subset J.

  • إذا كان لـ ff و gg نفس منحى التغيّرات على II و JJ على التوالي، فإن المركّبة g∘fg\circ f تزايدية على I.I.
  • إذا كان لـ ff و gg منحيَا تغيّرات متعاكسان على II و JJ على التوالي، فإن المركّبة g∘fg\circ f تناقصية على I.I.

مثال

لتكن hh الدالة المعرّفة على R\mathbb{R} بـ h(x)=1−x21+x2.h(x)=\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}. hh هي مركّبة f:x↦x2f: x\mapsto x^{2} و g:x↦1−x1+xg: x\mapsto\frac{1-x}{1+x} (h=g∘fh=g\circ f).

  • ff تناقصية على ]−∞;0]]-\infty{;}0] و f(]−∞;0])=[0;+∞[.f(]-\infty{;}0])=[0{;}+\infty[. وبما أن gg تناقصية على [0;+∞[[0{;}+\infty[ فإن hh تزايدية على ]−∞;0].]-\infty{;}0].
  • ff تزايدية على [0;+∞[[0{;}+\infty[ و f([0;+∞[)=[0;+∞[.f([0{;}+\infty[)=[0{;}+\infty[. وبما أن gg تناقصية على [0;+∞[[0{;}+\infty[ فإن hh تناقصية على [0;+∞[.[0{;}+\infty[.

تطبيق ⑨

نعتبر الدالتين ff و gg المعرّفتين على R\mathbb{R} بـ f(x)=x2−2x+1f(x)=x^{2}-2x+1 و g(x)=−2x+1.g(x)=-2x+1.

  1. أنشئ جدولي تغيّرات ff و g.g.
  1. حدّد f(]−∞;1])f(]-\infty{;}1]) و f([1;+∞[).f([1{;}+\infty[).
  1. ادرس تغيّرات الدالة g∘fg\circ f على ]−∞;1]]-\infty{;}1] و [1;+∞[.[1{;}+\infty[.

تطبيق ⑩

نعتبر الدالتين ff و gg المعرّفتين بـ f(x)=x2−2x−1f(x)=x^{2}-2x-1 و g(x)=x−2x+2.g(x)=\frac{x-2}{x+2}.

  1. أعط DfD_{f} و DgD_{g} و Dg∘f.D_{g\circ f}.
  1. حدّد g∘f(x)g\circ f(x) لكل x∈Dg∘f.x\in D_{g\circ f}.
  1. أنشئ جدولي تغيّرات ff و g.g.
  1. حدّد f(]−∞;1])f(]-\infty{;}1]) و f([1;+∞[).f([1{;}+\infty[).
  1. ادرس تغيّرات g∘fg\circ f على ]−∞;1]]-\infty{;}1] و [1;+∞[.[1{;}+\infty[.

Ⅶ. دوال مرجعية: x↦ax3x\mapsto ax^{3} و x↦x+ax\mapsto\sqrt{x+a}

دراسة x↦ax3x\mapsto ax^{3}

ليكن aa عدداً حقيقياً غير منعدم و f:x↦ax3.f: x\mapsto ax^{3}. لدينا (∀x∈R): −x∈R(\forall x\in\mathbb{R}):\ -x\in\mathbb{R} و f(−x)=a(−x)3=−ax3=−f(x).f(-x)=a(-x)^{3}=-ax^{3}=-f(x). إذن ff فردية، ويكفي دراستها على R+.\mathbb{R}^{+}.

➢ إذا كان a>0a>0: ليكن xx و yy من [0;+∞[[0{;}+\infty[ مع x<y.x<y. لدينا x3<y3x^{3}<y^{3} ثم ax3<ay3ax^{3}<ay^{3} إذن ff تزايدية على [0;+∞[[0{;}+\infty[، وبما أنها فردية فهي تزايدية على ]−∞;0].]-\infty{;}0]. ومنه ff تزايدية على R.\mathbb{R}.

➢ إذا كان a<0a<0: بنفس الطريقة ff تناقصية على R.\mathbb{R}.

التمثيل المبياني لـ ax³ حسب إشارة a

دراسة x↦x+ax\mapsto\sqrt{x+a}

ليكن aa عدداً حقيقياً و f:x↦x+a.f: x\mapsto\sqrt{x+a}. لدينا Df=[−a;+∞[.D_{f}=[-a{;}+\infty[. ليكن xx و yy من DfD_{f} مع x<y.x<y. لدينا x+a<y+ax+a<y+a ثم x+a<y+a\sqrt{x+a}<\sqrt{y+a} إذن ff تزايدية قطعاً على [−a;+∞[.[-a{;}+\infty[.

التمثيل المبياني لـ √(x+a)

تطبيق ⑪

نعتبر الدالتين ff و gg المعرّفتين بـ f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2} و g(x)=−x3g(x)=-x^{3} وليكن (Cf)(C_{f}) و (Cg)(C_{g}) منحنييهما في معلم (O;ı⃗;ȷ⃗).(O{;}\vec{\imath}{;}\vec{\jmath}).

  1. ادرس تغيّرات ff و g.g.
  1. أنشئ (Cf)(C_{f}) و (Cg).(C_{g}).
  1. حلّ مبيانياً المتراجحة x+2+x3<0\sqrt{x+2}+x^{3}<0 على [−2;+∞[.[-2{;}+\infty[.

تطبيق ⑫

لتكن ff و gg دالتين معرّفتين بـ f(x)=x2−xf(x)=x^{2}-x و g(x)=x+2g(x)=\sqrt{x+2} وليكن (Cf)(C_{f}) و (Cg)(C_{g}) منحنييهما في معلم متعامد منظم.

  1. أ. حدّد DgD_{g} ثم تحقّق من أن f(2)=g(2).f(2)=g(2). ب. مثّل المنحنيين (Cf)(C_{f}) و (Cg).(C_{g}). ج. حدّد مبيانياً f ⁣(]−∞;12].f\!\left(]-\infty{;}\frac{1}{2}\right]. د. حلّ مبيانياً على [−2;+∞[[-2{;}+\infty[ المتراجحة x2−x−x+2≤0.x^{2}-x-\sqrt{x+2}\leq 0.
  1. نعتبر الدالة hh المعرّفة على R\mathbb{R} بـ h(x)=x2−x+2.h(x)=\sqrt{x^{2}-x+2}. أ. تحقّق من أن (∀x∈R): h(x)=(g∘f)(x).(\forall x\in\mathbb{R}):\ h(x)=(g\circ f)(x). ب. حدّد تغيّرات hh على ]−∞;12]]-\infty{;}\frac{1}{2}] و [12;+∞[\left[\frac{1}{2}{;}+\infty\right[ باستعمال تغيّرات ff و g.g.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ