Ximath
تسجيل الدخول
سلاسل هذا المستوى

الأولى باك علوم تجريبية

السلسلة 04

سلسلة تمارين: عموميات حول الدوال العددية

تطبيقات وتمارين حول الدوال المحدودة، الدورية، المقارنة، صورة مجال، التركيب، والدوال المرجعية.

الدرس 04 — عموميات حول الدوال العددية

جزء التطبيقات

تطبيق ①

نعتبر الدالة ff المعرفة بـ f(x)=2x2+3x2+1.f(x)=\frac{2x^{2}+3}{x^{2}+1}.

حدّد Df.D_{f}. بيّن أن (∀x∈Df): f(x)≤3.(\forall x\in D_{f}):\ f(x)\leq 3. بيّن أن (∀x∈Df): f(x)≥2.(\forall x\in D_{f}):\ f(x)\geq 2. استنتج أن (∀x∈Df): 2≤f(x)≤3.(\forall x\in D_{f}):\ 2\leq f(x)\leq 3.

تطبيق ②

نعتبر الدالتين ff و gg المعرّفتين بـ f(x)=3−1−2xf(x)=3-\sqrt{1-2x} و g(x)=x2+4.g(x)=\sqrt{x^{2}+4}. حدّد DfD_{f} و Dg.D_{g}. بيّن أن ff محدودة من فوق بالعدد 33 على Df.D_{f}. بيّن أن gg محدودة من تحت بالعدد 22 على Dg.D_{g}.

تطبيق ③

يمثّل الشكل جانبه المنحنى الممثّل لدالة معرّفة على R.\mathbb{R}.

منحنى دالة دورية
  1. تحقّق من أن f(−2)=f(2)f(-2)=f(2) و f(0)=f(4)f(0)=f(4) و f(1)=f(5).f(1)=f(5).
  1. ليكن x∈Rx\in\mathbb{R}، حدّد العلاقة بين f(x+4)f(x+4) و f(x).f(x).

تطبيق ④

نعتبر الدالتين ff و gg المعرّفتين على R\mathbb{R} بـ f(x)=cos⁡2(x)f(x)=\cos^{2}(x) و g(x)=sin⁡(2πx).g(x)=\sin(2\pi x). بيّن أنهما دوريتان دورهما على التوالي π\pi و 1.1.

تطبيق ⑤

نعتبر الدالتين ff و gg المعرّفتين على R\mathbb{R} بـ f(x)=x2−2x+1f(x)=x^{2}-2x+1 و g(x)=−2x2+4x+1.g(x)=-2x^{2}+4x+1. 1. ادرس إشارة f(x)−g(x)f(x)-g(x) على R.\mathbb{R}. 2. استنتج مقارنة بين ff و gg على R.\mathbb{R}.

تطبيق ⑥

نعتبر الدالة ff المعرفة بـ f(x)=1x2+1.f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}. حدّد Df.D_{f}. ادرس زوجية ff ثم فسّر مبيانياً. ادرس رتابة ff على [0;+∞[[0{;}+\infty[ ثم على ]−∞;0].]-\infty{;}0]. ادرس رتابة 3f3f و −2f-2f و f+3f+3 على [0;+∞[.[0{;}+\infty[.

تطبيق ⑦

لتكن ff دالة معرّفة على [−3;3][-3{;}3] بمنحناها. أعط جدول تغيّرات ff و f+2f+2 و −3f.-3f.

منحنى f على [-3;3]

تطبيق ⑧

نعتبر الدالتين ff و gg المعرّفتين بـ f(x)=−x+5f(x)=-x+5 و g(x)=x.g(x)=\sqrt{x}.

  1. أ. احسب f(1)f(1) ثم g(f(1)).g(f(1)). ب. احسب f(−4)f(-4) ثم g(f(−4)).g(f(-4)). ج. احسب f(8).f(8). هل يمكن حساب g(f(8))؟g(f(8))؟
  1. أ. حدّد المجال II بحيث تكون g(f(x))g(f(x)) قابلة للحساب لكل xx من I.I. ب. حدّد تعبير g(f(x))g(f(x)) لكل xx من I.I.

تطبيق ⑨

  1. لتكن ff و gg دالتين معرّفتين بـ f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} و g(x)=2x+33x−6.g(x)=\frac{2x+3}{3x-6}. أ. حدّد DfD_{f} و DgD_{g} و Dg∘f.D_{g\circ f}. ب. أعط تعبير g∘f.g\circ f.
  1. اكتب الدالة hh المعرّفة على R+\mathbb{R}^{+} بـ h(x)=x−2x+5h(x)=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+5} على شكل مركّبة.

تطبيق ⑩

نعتبر الدالتين ff و gg المعرّفتين على R\mathbb{R} بـ f(x)=x2−2x+1f(x)=x^{2}-2x+1 و g(x)=−2x+1.g(x)=-2x+1. 1. أنشئ جدولي تغيّرات ff و g.g. 2. حدّد f(]−∞;1])f(]-\infty{;}1]) و f([1;+∞[).f([1{;}+\infty[). 3. ادرس تغيّرات g∘fg\circ f على ]−∞;1]]-\infty{;}1] و [1;+∞[.[1{;}+\infty[.

تطبيق ⑪

نعتبر الدالتين ff و gg المعرّفتين بـ f(x)=x+2f(x)=\sqrt{x+2} و g(x)=−x3.g(x)=-x^{3}. 1. ادرس تغيّرات ff و g.g. 2. أنشئ (Cf)(C_{f}) و (Cg).(C_{g}). 3. حلّ مبيانياً x+2+x3<0\sqrt{x+2}+x^{3}<0 على [−2;+∞[.[-2{;}+\infty[.

جزء التمارين

تمرين ①

لتكن gg الدالة المعرفة بـ g(x)=x−3x+1.g(x)=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}.

  1. حدّد Dg.D_{g}.
  1. بيّن أن gg محدودة من فوق بالعدد 11 ومحدودة من تحت بالعدد −3.-3.
  1. فسّر النتيجة مبيانياً.

تمرين ②

لتكن ff دالة عددية معرّفة بـ f(x)=x+4x.f(x)=x+\frac{4}{x}.

  1. حدّد Df.D_{f}.
  1. أ. احسب f(2).f(2). ب. بيّن أن ff محدودة من تحت بالعدد 44 على ]0;+∞[.]0{;}+\infty[. استنتج.
  1. بيّن أن −4-4 هي القيمة القصوى لـ ff على ]−∞;0[.]-\infty{;}0[.

تمرين ③

لتكن ff و gg دالتين معرّفتين على R\mathbb{R} بمنحنييهما.

منحنيَا f و g للحل المبياني
  1. حلّ مبيانياً: f(x)=2f(x)=2 ؛ f(x)=0f(x)=0 ؛ f(x)=g(x).f(x)=g(x).
  1. حلّ مبيانياً: f(x)<2f(x)<2 ؛ g(x)≥0g(x)\geq 0 ؛ f(x)>g(x).f(x)>g(x).

تمرين ④

لتكن ff دالة جدول تغيّراتها معطى. حدّد: f([−4;0])f([-4{;}0]) ؛ f([0;1])f([0{;}1]) ؛ f([0;2])f([0{;}2]) ؛ f([−4;1])f([-4{;}1]) ؛ f(]1;+∞[).f(]1{;}+\infty[).

تمرين ⑤

نعتبر الدالتين ff و gg المعرّفتين بـ f(x)=x2−2x−1f(x)=x^{2}-2x-1 و g(x)=x−2x+2.g(x)=\frac{x-2}{x+2}.

  1. أعط DfD_{f} و DgD_{g} و Dg∘f.D_{g\circ f}.
  1. حدّد g∘f(x)g\circ f(x) لكل x∈Dg∘f.x\in D_{g\circ f}.
  1. أنشئ جدولي تغيّرات ff و g.g.
  1. حدّد f(]−∞;1])f(]-\infty{;}1]) و f([1;+∞[).f([1{;}+\infty[).
  1. ادرس تغيّرات g∘fg\circ f على ]−∞;1]]-\infty{;}1] و [1;+∞[.[1{;}+\infty[.

تمرين ⑥

لتكن ff و gg دالتين معرّفتين بـ f(x)=x2−xf(x)=x^{2}-x و g(x)=x+2.g(x)=\sqrt{x+2}.

  1. أ. حدّد DgD_{g} ثم تحقّق من أن f(2)=g(2).f(2)=g(2). ب. مثّل (Cf)(C_{f}) و (Cg).(C_{g}). ج. حدّد مبيانياً f ⁣(]−∞;12].f\!\left(]-\infty{;}\frac{1}{2}\right]. د. حلّ مبيانياً على [−2;+∞[[-2{;}+\infty[ المتراجحة x2−x−x+2≤0.x^{2}-x-\sqrt{x+2}\leq 0.
  1. نعتبر h(x)=x2−x+2.h(x)=\sqrt{x^{2}-x+2}. أ. تحقّق من أن (∀x∈R): h(x)=(g∘f)(x).(\forall x\in\mathbb{R}):\ h(x)=(g\circ f)(x). ب. حدّد تغيّرات hh على ]−∞;12]]-\infty{;}\frac{1}{2}] و [12;+∞[\left[\frac{1}{2}{;}+\infty\right[ باستعمال تغيّرات ff و g.g.

تمرين ⑦

لتكن ff و gg دالتين معرّفتين بـ f(x)=12x3f(x)=\frac{1}{2}x^{3} و g(x)=x+62x−2.g(x)=\frac{x+6}{2x-2}.

  1. أ. حدّد DgD_{g} وتحقّق من أن
(∀x∈Dg): g(x)=12+72(x−1).(\forall x\in D_{g}):\ g(x)=\frac{1}{2}+\frac{7}{2(x-1)}.

ب. احسب f(−2)f(-2) و f(−1)f(-1) و f(2)f(2) و g(−2)g(-2) و g(−1)g(-1) و g(2).g(2).

  1. أ. أنشئ جدولي تغيّرات ff و g.g. ب. مثّل (Cf)(C_{f}) و (Cg).(C_{g}).
  1. تحقّق مبيانياً من أن (Cf)(C_{f}) و (Cg)(C_{g}) يتقاطعان في نقطتين، إحداثي إحدى النقطتين ينتمي إلى ]−2;−1[.]-2{;}-1[.
  1. حلّ مبيانياً المتراجحة f(x)≥g(x).f(x)\geq g(x).
  1. أ. حدّد مبيانياً g([2;+∞[).g([2{;}+\infty[). ب. ادرس رتابة الدالة f∘gf\circ g على [2;+∞[.[2{;}+\infty[.

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ