الأولى باك علوم تجريبية

الدرس 06

الاشتقاق وتطبيقاته

قابلية الاشتقاق، المماس، الاشتقاق يميناً ويساراً، مشتقات الدوال الاعتيادية، التغيرات والمطاريف، والمعادلة التفاضلية $y''+\omega^{2}y=0$ .

سلسلة التمارين 06 — سلسلة تطبيقات: الاشتقاق وتطبيقاته

Ⅰ. قابلية اشتقاق دالة في نقطة — العدد المشتق

تعريف

لتكن $f$ دالة عددية معرّفة على مجال $I$ و $a$ عنصراً من $I.$ نقول إن الدالة $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ إذا وُجد عدد حقيقي $\ell$ بحيث $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell.$ العدد $\ell$ يُسمّى العدد المشتق للدالة $f$ في $a$ ونرمز له بالرمز $f'(a).$ نكتب: $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a).$

ملاحظة

بوضع $h=x-a$ نجد أن: $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a).$

مثال

لندرس قابلية اشتقاق الدالة $f$ المعرّفة على $\mathbb{R}$ بما يلي: $f(x)=4x^{2}-5x+3$ في العدد $a=1.$

لدينا

\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{(4x^{2}-5x+3)-(4-5+3)}{x-1}=\frac{4x^{2}-5x+1}{x-1}=\frac{(4x-1)(x-1)}{x-1}=4x-1

لكل $x\neq 1.$ إذن

\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}(4x-1)=3.

وبالتالي $f$ قابلة للاشتقاق في $1$ و $f'(1)=3.$

تطبيق ①

ادرس قابلية اشتقاق الدالة $f$ في $a$ ثم حدّد (إن وُجد) العدد المشتق $f'(a)$ في الحالات التالية:

① $f(x)=2x+1$ و $a=2$

② $f(x)=\sqrt{2x+3}$ و $a=3$

③

f(x)=\begin{cases}x^{2}-5&;\,x\ge 3\\2x-1&;\,x<3\end{cases}

و $a=3$

④ $f(x)=\frac{x+1}{x}$ و $a=1$

Ⅱ. التأويل الهندسي — الدالة التآلفية المماسة

خاصية

لتكن $f$ دالة عددية معرّفة على مجال $I$ و $a$ عنصراً من $I.$ إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ فإن منحنى الدالة $f$ يقبل مماساً في النقطة ذات الأفصول $a$ معادلته: $(T):\ y=f'(a)(x-a)+f(a).$ المعامل الموجّه لهذا المستقيم هو $f'(a)$ وهو موجّه بالمتجهة $\vec{u}(1{;}f'(a)).$

مماس منحنى دالة في نقطة — المماس $(T)$ للمنحنى $(C_{f})$ في النقطة ذات الأفصول $a$

مثال

لنحدّد معادلة مماس لمنحنى الدالة $f$ المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=4x^{2}-5x+3$ في العدد $a=1.$

بما أن $f'(1)=3$ و $f(1)=2$ فإن معادلة المماس هي $(T):\ y=3(x-1)+2$ أي $y=3x-1.$

تطبيق ②

حدّد معادلة مماس لمنحنى الدالة $f$ في $a$ في الحالات التالية:

① $f(x)=2x+1$ و $a=2$

② $f(x)=\sqrt{2x+3}$ و $a=3$

③ $f(x)=\frac{x+1}{x}$ و $a=1$

خاصية

لتكن $f$ دالة عددية معرّفة على مجال $I$ و $a$ عنصراً من $I.$ الدالة التآلفية $g:x\mapsto f'(a)(x-a)+f(a)$ تُسمّى الدالة التآلفية المماسة للدالة $f$ في النقطة $a.$ العدد $g(x)=f'(a)(x-a)+f(a)$ هو تقريب للعدد $f(x)$ بجوار $a$ ونكتب: $f(x)\approx g(x).$

مثال

لنحدّد الدالة التآلفية المماسة للدالة $f$ المعرّفة بـ $f(x)=2\sin(x)$ في النقطة $a=0$ ولنُعطِ قيمة مقربة للعدد $2\sin(0{,}001).$

بما أن $f'(x)=2\cos(x)$ فإن $f'(0)=2$ و $f(0)=0.$ إذن $g(x)=2x.$ وبالتالي $2\sin(0{,}001)\approx g(0{,}001)=0{,}002.$

تطبيق ③

لتكن $f$ دالة عددية معرّفة بما يلي: $f(x)=\sqrt{x+13}.$

حدّد الدالة التآلفية المماسة للدالة $f$ في النقطة $a=3.$

حدّد قيمة مقربة لكل من العددين $f(4{,}00014)$ و $f(3{,}9994).$

Ⅲ. الاشتقاق يميناً ويساراً

تعريف

لتكن $f$ دالة عددية معرّفة على مجال $[a{;}\alpha[$ بحيث $\alpha>a.$ نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على يمين $a$ إذا وُجد عدد حقيقي $\ell$ بحيث $\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell.$ العدد $\ell$ يُسمّى العدد المشتق للدالة $f$ في $a$ على اليمين ونرمز له بـ $f'_{d}(a)$ ونكتب:

f'_{d}(a)=\lim_{x\to a^{+}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

تعريف

لتكن $f$ دالة عددية معرّفة على مجال $]\alpha{;}a]$ بحيث $\alpha<a.$ نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على يسار $a$ إذا وُجد عدد حقيقي $\ell$ بحيث $\lim_{x\to a^{-}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\ell.$ العدد $\ell$ يُسمّى العدد المشتق للدالة $f$ في $a$ على اليسار ونرمز له بـ $f'_{g}(a)$ ونكتب:

f'_{g}(a)=\lim_{x\to a^{-}}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.

ملاحظة

بوضع $h=x-a$ نجد أن:

f'_{d}(a)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}

f'_{g}(a)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

خاصية

لتكن $f$ دالة عددية معرّفة على مجال مفتوح $I$ و $a$ عنصراً من $I.$ تكون $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ إذا وفقط إذا كانت قابلة للاشتقاق على اليمين وعلى اليسار في $a$ و $f'_{g}(a)=f'_{d}(a).$

مثال

لندرس قابلية اشتقاق الدالة $f$ المعرّفة بـ $f(x)=\lvert x\rvert$ في العدد $a=0.$

لدينا

f'_{d}(0)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\lvert x\rvert-0}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{x}=1

f'_{g}(0)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\lvert x\rvert}{x}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{-x}{x}=-1.

بما أن $f'_{d}(0)\neq f'_{g}(0)$ فإن $f$ غير قابلة للاشتقاق في $0.$

تطبيق ④

ادرس قابلية اشتقاق الدالة $g$ المعرّفة بـ $g(x)=\sqrt{x}$ على يمين العدد $a=0.$

ادرس قابلية اشتقاق الدالة $f$ في $a$ في كل حالة من الحالات الآتية:

①

f(x)=\begin{cases}x^{3}&;\,x>1\\x^{2}+x+2&;\,x\le 1\end{cases}

و $a=1$

②

f(x)=\begin{cases}x&;\,0\le x<1\\x^{2}-1&;\,x\ge 1\end{cases}

و $a=1$

Ⅳ. التأويل الهندسي للاشتقاق يميناً ويساراً

خاصية

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين في $a$ فإن المنحنى $(C_{f})$ يقبل نصف مماس في النقطة $A(a{;}f(a))$ على اليمين معامله الموجّه $f'_{d}(a)$ ومعادلته: $(T_{d}):\ y=f'_{d}(a)(x-a)+f(a)$ مع $x\ge a.$ المستقيم $(T_{d})$ موجّه بالمتجهة $\vec{u}(1{;}f'_{d}(a)).$

نصف مماس على اليمين — نصف المماس $(T_{d})$ على يمين $a$

خاصية

إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق على اليسار في $a$ فإن المنحنى $(C_{f})$ يقبل نصف مماس في النقطة $A(a{;}f(a))$ على اليسار معامله الموجّه $f'_{g}(a)$ ومعادلته: $(T_{g}):\ y=f'_{g}(a)(x-a)+f(a)$ مع $x\le a.$ المستقيم $(T_{g})$ موجّه بالمتجهة $\vec{u}(1{;}f'_{g}(a)).$

نصف مماس على اليسار — نصف المماس $(T_{g})$ على يسار $a$

ملاحظة

إذا كان $f'_{d}(a)\neq f'_{g}(a)$ فإن $(C_{f})$ يقبل نصفي مماس عند النقطة $A(a{;}f(a))$ وتُسمّى في هذه الحالة نقطة مزواة.

مثال

نعتبر الدالة $f$ المعرّفة بـ $f(x)=\lvert x\rvert$ على $\mathbb{R}.$

$f$ قابلة للاشتقاق على يمين $0$ بحيث $f'_{d}(0)=1$ ، إذن منحناها يقبل نصف مماس على يمين $0$ معادلته $(T_{d}):\ y=x$ مع $x\ge 0.$

$f$ قابلة للاشتقاق على يسار $0$ بحيث $f'_{g}(0)=-1$ ، إذن منحناها يقبل نصف مماس على يسار $0$ معادلته $(T_{g}):\ y=-x$ مع $x\le 0.$

بما أن $f'_{d}(0)\neq f'_{g}(0)$ فإن النقطة $A(0{;}f(0))$ نقطة مزواة.

تطبيق ⑤

أعطِ التأويل الهندسي لقابلية اشتقاق الدالة $f$ في $a$ في كل حالة من الحالات الآتية:

①

f(x)=\begin{cases}x^{3}&;\,x>1\\x^{2}+x+2&;\,x\le 1\end{cases}

و $a=1$

②

f(x)=\begin{cases}x&;\,0\le x<1\\x^{2}-1&;\,x\ge 1\end{cases}

و $a=1$

خاصية

لتكن $f$ دالة عددية معرّفة على مجال مفتوح $I$ و $a$ عنصراً من $I.$ إذا كانت نهاية الدالة $x\mapsto\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ عندما يؤول $x$ إلى $a$ على اليمين (أو على اليسار) هي $\pm\infty$ ، فإن منحنى الدالة $f$ يقبل في النقطة $A(a{;}f(a))$ نصف مماس عمودي معادلته $x=a.$

ملاحظة

توجيه نصف المماس العمودي يكون إما نحو الأعلى أو نحو الأسفل حسب قاعدة الإشارات.

مثال

لندرس قابلية اشتقاق الدالة $f$ المعرّفة بـ $f(x)=\sqrt{1-2x}$ على يسار العدد $a=\frac{1}{2}.$

لدينا

\lim_{x\to\frac{1}{2}^{-}}\frac{f(x)-f\!\left(\frac{1}{2}\right)}{x-\frac{1}{2}}=\lim_{x\to\frac{1}{2}^{-}}\frac{\sqrt{1-2x}}{x-\frac{1}{2}}=\lim_{x\to\frac{1}{2}^{-}}\frac{-2}{\sqrt{1-2x}}=-\infty.

وبالتالي $f$ غير قابلة للاشتقاق على يسار $\frac{1}{2}$ ، ومنه منحناها يقبل نصف مماس عمودي معادلته $x=\frac{1}{2}$ موجّهاً نحو الأعلى.

تطبيق

ادرس قابلية اشتقاق الدالة $f$ المعرّفة بـ $f(x)=\sqrt{x^{2}-1}$ على يمين العدد $a=1.$

Ⅴ. الاشتقاق على مجال — الدالة المشتقة

تعريف

نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على مجال $]a{;}b[$ إذا كانت قابلة للاشتقاق في كل نقطة من $]a{;}b[.$ نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على $]a{;}b]$ إذا كانت قابلة للاشتقاق على $]a{;}b[$ وعلى يسار $b.$ نقول إن $f$ قابلة للاشتقاق على $[a{;}b]$ إذا كانت قابلة للاشتقاق على $]a{;}b[$ وعلى يمين $a$ وعلى يسار $b.$

تعريف

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح $I.$ الدالة العددية التي تربط كل عنصر $x$ من $I$ بالعدد المشتق $f'(x)$ تُسمّى الدالة المشتقة لـ $f$ على $I$ ونرمز لها بـ $f'.$ نكتب: $f':I\to\mathbb{R}$ ، $x\mapsto f'(x).$

ملاحظة

الدالة الحدودية قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}.$ الدالة الجذرية قابلة للاشتقاق على كل مجال ضمن مجموعة تعريفها.

Ⅵ. مشتقات الدوال الاعتيادية والعمليات

جدول الدوال المشتقة لبعض الدوال الاعتيادية

الدالة $f$	$D_{f}$	المشتقة $f'$	$D_{f'}$
$x\mapsto k$	$\mathbb{R}$	$x\mapsto 0$	$\mathbb{R}$
$x\mapsto x$	$\mathbb{R}$	$x\mapsto 1$	$\mathbb{R}$
$x\mapsto ax$	$\mathbb{R}$	$x\mapsto a$	$\mathbb{R}$
$x\mapsto x^{n}$ ( $n\in\mathbb{N}^{*}\setminus\{1\}$ )	$\mathbb{R}$	$x\mapsto nx^{n-1}$	$\mathbb{R}$
$x\mapsto\frac{1}{x}$	$\mathbb{R}^{*}$	$x\mapsto-\frac{1}{x^{2}}$	$]0{;}+\infty[$ أو $]-\infty{;}0[$
$x\mapsto\sqrt{x}$	$[0{;}+\infty[$	$x\mapsto\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$]0{;}+\infty[$
$x\mapsto\cos x$	$\mathbb{R}$	$x\mapsto-\sin x$	$\mathbb{R}$
$x\mapsto\sin x$	$\mathbb{R}$	$x\mapsto\cos x$	$\mathbb{R}$
$x\mapsto\tan x$	$\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}$	$x\mapsto 1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$	$\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}$

برهان (مختصر)

الثابتة $f:x\mapsto k$ : $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=0$ إذن $f'(a)=0.$
$f:x\mapsto x$ : $\frac{x-a}{x-a}=1$ إذن $f'(a)=1.$
$f:x\mapsto kx$ : $\frac{kx-ka}{x-a}=k$ إذن $f'(a)=k.$
$f:x\mapsto x^{2}$ : $\frac{x^{2}-a^{2}}{x-a}=x+a$ إذن $f'(a)=2a.$
$f:x\mapsto\sqrt{x}$ على $]0{;}+\infty[$ :

\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}

إذن $f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a}}$ (غير قابلة للاشتقاق على يمين $0$ ).

$f:x\mapsto\frac{1}{x}$ :

\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{a}}{x-a}=-\frac{1}{ax}

إذن $f'(a)=-\frac{1}{a^{2}}.$

$f:x\mapsto\sin x$ : بوضع $h=x-a$ وباستعمال $\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$ و $\lim_{h\to 0}\frac{1-\cos h}{h}=0$ نجد $f'(a)=\cos a.$

خاصية

إذا كانت $f$ و $g$ قابلتين للاشتقاق على مجال $I$ فإن:

$(f+g)'=f'+g'.$
$(kf)'=kf'$ حيث $k\in\mathbb{R}.$
$(fg)'=f'g+g'f.$

\left(\frac{1}{f}\right)'=-\frac{f'}{f^{2}}

حيث $f(x)\neq 0.$

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^{2}}

حيث $g(x)\neq 0.$

$(f^{n})'=nf^{n-1}f'$ حيث $n\in\mathbb{N}^{*}.$
إذا كانت $f$ موجبة قطعاً فإن $(\sqrt{f})'=\frac{f'}{2\sqrt{f}}.$

أمثلة

لنحدّد مشتقة الدوال التالية:

$f(x)=x^{4}+3x^{2}+5x-1$ ؛ إذن $f'(x)=4x^{3}+6x+5.$

$g(x)=\sin x+\cos x$ ؛ إذن $g'(x)=\cos x-\sin x.$

$h(x)=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)^{5}$ ؛ إذن

h'(x)=5\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)^{4}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x^{2}}\right).

تطبيق ⑥

حدّد مشتقة الدالة $f$ في الحالات التالية:

$f_{1}(x)=\frac{2}{9}x^{3}-x^{2}+6$ ؛ $f_{2}(x)=(1+3x^{2})\sin x$ ؛ $f_{3}(x)=(x^{2}-3x+2)^{10}$ ؛ $f_{4}(x)=\frac{2x-1}{2+3x}$ ؛ $f_{5}(x)=\frac{x^{3}+x}{2x^{2}+1}$ ؛ $f_{6}(x)=\frac{3}{x^{2}+1}$ ؛ $f_{7}(x)=\sqrt{x^{2}-3x}$ ؛ $f_{8}(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^{2}}.$

باستعمال الدالة المشتقة، احسب النهايات التالية: $\lim_{x\to 1}\frac{x\sqrt{x}-1}{x-1}$ ؛

\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{2\cos x-\sqrt{2}}{x-\frac{\pi}{4}}

\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\tan x-\sqrt{3}}{x-\frac{\pi}{3}}.

خاصية

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I$ و $a$ و $b$ عددين حقيقيين. ولتكن $J$ مجموعة الأعداد الحقيقية $x$ بحيث $ax+b\in I.$ الدالة $x\mapsto f(ax+b)$ قابلة للاشتقاق على $J$ ولدينا: $\bigl(f(ax+b)\bigr)'=a\,f'(ax+b).$

تطبيق ⑦

احسب الدالة المشتقة للدوال التالية: $f_{1}(x)=\sin(4x-5)$ ؛ $f_{2}(x)=\cos(3x+2)$ ؛ $f_{3}(x)=\tan\!\left(2x+\frac{\pi}{4}\right).$

Ⅶ. المشتقات المتتالية

تعريف

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح $I.$ إذا كانت $f'$ قابلة للاشتقاق على $I$ فإن دالتها المشتقة $(f')'$ تُسمّى الدالة المشتقة الثانية لـ $f$ ونرمز لها بـ $f''.$ إذا كانت $f''$ قابلة للاشتقاق على $I$ فإن دالتها المشتقة تُسمّى المشتقة الثالثة ونرمز لها بـ $f'''$ أو $f^{(3)}.$ إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق $n$ مرة فإن مشتقتها من الرتبة $n$ يرمز لها بـ $f^{(n)}.$

مثال

لنحدّد المشتقة الأولى والثانية والثالثة للدالة $f$ المعرّفة بـ $f(x)=3x^{4}-2x^{3}+x^{2}+7x-5.$

$f'(x)=12x^{3}-6x^{2}+2x+7$ ؛ $f''(x)=36x^{2}-12x+2$ ؛ $f'''(x)=72x-12.$

Ⅷ. تطبيقات الاشتقاق — التغيرات والمطاريف

تعريف

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال $I.$ تكون $f$ تزايدية على $I$ إذا وفقط إذا كان $(\forall x\in I):f'(x)\ge 0.$ تكون تناقصية على $I$ إذا وفقط إذا كان $(\forall x\in I):f'(x)\le 0.$ تكون ثابتة على $I$ إذا وفقط إذا كان $(\forall x\in I):f'(x)=0.$

مثال

لندرس تغيرات الدالة $f$ المعرّفة بـ $f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+3x+1.$

لدينا $f'(x)=x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).$ إشارة $f'$ موجبة على $]-\infty{;}1]$ و $[3{;}+\infty[$ وسالبة على $[1{;}3].$ إذن $f$ تزايدية على $]-\infty{;}1]$ و $[3{;}+\infty[$ وتناقصية على $[1{;}3].$

تطبيق ⑧

ادرس تغيرات الدالة $f$ في الحالات التالية:

① $f(x)=\frac{2x+1}{2x-4}$

② $f(x)=\frac{x+1}{x}$

③ $f(x)=(x-1)^{2}$

تعريف

لتكن $f$ دالة قابلة للاشتقاق على مجال مفتوح $I$ و $a$ عنصراً من $I.$ تقبل $f$ مطرافاً في $a$ إذا كانت $f'$ تنعدم في $a$ وتتغيّر إشارتها. إذا كانت $f$ قابلة للاشتقاق في $a$ وتقبل مطرافاً في $a$ فإن $f'(a)=0.$

ملاحظة

إذا كان $f'(a)=0$ فهذا لا يعني بالضرورة أن $f(a)$ مطراف لـ $f$ عند $a.$ إذا كان $f'(a)=0$ فإن $(C_{f})$ يقبل مماساً أفقياً عند النقطة $A(a{;}f(a)).$

تطبيق ⑨

نعتبر الدالة $f$ المعرّفة بـ $f(x)=\frac{x}{x^{2}+x+1}.$

حدّد $D_{f}$ مجموعة تعريف الدالة $f.$

ادرس تغيرات الدالة $f.$

حدّد مطاريف الدالة $f.$

ضع جدول تغيرات الدالة $f.$

بيّن أن $(\forall x\in D_{f}):\ -1\le f(x)\le\frac{1}{3}.$

Ⅸ. المعادلة التفاضلية $y''+\omega^{2}y=0$

تعريف

ليكن $\omega$ عدداً حقيقياً غير منعدم. المعادلة $y''+\omega^{2}y=0$ ذات المجهول الدالة $y$ حيث $y''$ هي المشتقة الثانية لـ $y$ تُسمّى معادلة تفاضلية. كل دالة $f$ قابلة للاشتقاق مرتين على $\mathbb{R}$ وتحقّق $f''(x)+\omega^{2}f(x)=0$ لكل $x\in\mathbb{R}$ تُسمّى حلاً للمعادلة التفاضلية $y''+\omega^{2}y=0.$

خاصية

ليكن $\omega$ عدداً حقيقياً غير منعدم. الحل العام للمعادلة التفاضلية $y''+\omega^{2}y=0$ هو مجموعة الدوال $y:x\mapsto\alpha\cos(\omega x)+\beta\sin(\omega x)$ حيث $\alpha\in\mathbb{R}$ و $\beta\in\mathbb{R}.$

مثال

لنحل المعادلة التفاضلية $y''+7y=0.$ لدينا $\omega^{2}=7$ إذن $\omega=\sqrt{7}.$ الحل العام هو $y(x)=\alpha\cos(\sqrt{7}\,x)+\beta\sin(\sqrt{7}\,x)$ حيث $\alpha,\beta\in\mathbb{R}.$

تطبيق ⑩

حلّ المعادلة التفاضلية $(E):\ \frac{4}{3}y''+3y=0.$

نعتبر المعادلة التفاضلية $(E'):\ y''+16y=0.$ أ) حدّد مجموعة حلول $(E').$ ب) حدّد الدالة $y$ حل $(E')$ التي تحقّق الشروط البدئية $y(0)=1$ و $y\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=1.$

لتكن الدالة العددية المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=\alpha\cos(-2x+3)$ حيث $\alpha\in\mathbb{R}.$ بيّن أنها حل للمعادلة التفاضلية $y''+4y=0.$

الاشتقاق وتطبيقاته

Ⅰ. قابلية اشتقاق دالة في نقطة — العدد المشتق

Ⅱ. التأويل الهندسي — الدالة التآلفية المماسة

Ⅲ. الاشتقاق يميناً ويساراً

Ⅳ. التأويل الهندسي للاشتقاق يميناً ويساراً

Ⅴ. الاشتقاق على مجال — الدالة المشتقة

Ⅵ. مشتقات الدوال الاعتيادية والعمليات

حيث f(x)≠0.f(x)\neq 0.f(x)=0.

Ⅶ. المشتقات المتتالية

Ⅷ. تطبيقات الاشتقاق — التغيرات والمطاريف

Ⅸ. المعادلة التفاضلية y′′+ω2y=0y''+\omega^{2}y=0y′′+ω2y=0

حيث $f(x)\neq 0.$

Ⅸ. المعادلة التفاضلية $y''+\omega^{2}y=0$