سلسلة تطبيقات: الاشتقاق وتطبيقاته

ادرس قابلية اشتقاق الدالة $f$ في $a$ ثم حدّد (إن وُجد) العدد المشتق $f'(a)$ في الحالات التالية:

① $f(x)=2x+1$ و $a=2$

② $f(x)=\sqrt{2x+3}$ و $a=3$

③

و $a=3$

④ $f(x)=\frac{x+1}{x}$ و $a=1$

حدّد معادلة مماس لمنحنى الدالة $f$ في $a$ في الحالات التالية:

① $f(x)=2x+1$ و $a=2$

② $f(x)=\sqrt{2x+3}$ و $a=3$

③ $f(x)=\frac{x+1}{x}$ و $a=1$

لتكن $f$ دالة عددية معرّفة بما يلي: $f(x)=\sqrt{x+13}.$

1. حدّد الدالة التآلفية المماسة للدالة $f$ في النقطة $a=3.$

2. حدّد قيمة مقربة لكل من العددين $f(4{,}00014)$ و $f(3{,}9994).$

1. ادرس قابلية اشتقاق الدالة $g$ المعرّفة بـ $g(x)=\sqrt{x}$ على يمين العدد $a=0.$

2. ادرس قابلية اشتقاق الدالة $f$ في $a$ في كل حالة من الحالات الآتية:

①

و $a=1$

②

و $a=1$

أعطِ التأويل الهندسي لقابلية اشتقاق الدالة $f$ في $a$ في كل حالة من الحالات الآتية:

①

و $a=1$

②

و $a=1$

ادرس قابلية اشتقاق الدالة $f$ المعرّفة بـ $f(x)=\sqrt{x^{2}-1}$ على يمين العدد $a=1.$

حدّد مشتقة الدالة $f$ في الحالات التالية:

$f_{1}(x)=\frac{2}{9}x^{3}-x^{2}+6$ ؛ $f_{2}(x)=(1+3x^{2})\sin x$ ؛ $f_{3}(x)=(x^{2}-3x+2)^{10}$ ؛ $f_{4}(x)=\frac{2x-1}{2+3x}$ ؛ $f_{5}(x)=\frac{x^{3}+x}{2x^{2}+1}$ ؛ $f_{6}(x)=\frac{3}{x^{2}+1}$ ؛ $f_{7}(x)=\sqrt{x^{2}-3x}$ ؛ $f_{8}(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{x^{2}}.$

باستعمال الدالة المشتقة، احسب النهايات التالية: $\lim_{x\to 1}\frac{x\sqrt{x}-1}{x-1}$ ؛

؛

احسب الدالة المشتقة للدوال التالية: $f_{1}(x)=\sin(4x-5)$ ؛ $f_{2}(x)=\cos(3x+2)$ ؛ $f_{3}(x)=\tan\!\left(2x+\frac{\pi}{4}\right).$

ادرس تغيرات الدالة $f$ في الحالات التالية:

① $f(x)=\frac{2x+1}{2x-4}$

② $f(x)=\frac{x+1}{x}$

③ $f(x)=(x-1)^{2}$

نعتبر الدالة $f$ المعرّفة بـ $f(x)=\frac{x}{x^{2}+x+1}.$

1. حدّد $D_{f}$ مجموعة تعريف الدالة $f.$

2. ادرس تغيرات الدالة $f.$

3. حدّد مطاريف الدالة $f.$

4. ضع جدول تغيرات الدالة $f.$

5. بيّن أن $(\forall x\in D_{f}):\ -1\le f(x)\le\frac{1}{3}.$

1. حلّ المعادلة التفاضلية $(E):\ \frac{4}{3}y''+3y=0.$

2. نعتبر المعادلة التفاضلية $(E'):\ y''+16y=0.$ أ) حدّد مجموعة حلول $(E').$ ب) حدّد الدالة $y$ حل $(E')$ التي تحقّق الشروط البدئية $y(0)=1$ و $y\!\left(\frac{\pi}{8}\right)=1.$

3. لتكن الدالة العددية المعرّفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=\alpha\cos(-2x+3)$ حيث $\alpha\in\mathbb{R}.$ بيّن أنها حل للمعادلة التفاضلية $y''+4y=0.$