الأولى باك علوم تجريبية

الدرس 08

المرجح في المستوى

مرجح نقطتين ونقط وثلاث نقط وأربع نقط، خاصية الاستتبات والتجانس والتجميعية، والإحداثيات ومحالّ المتجهات.

سلسلة التمارين 08 — سلسلة تطبيقات: المرجح في المستوى

Ⅱ. مرجح نقطتين

تعريف

لتكن $(A;a)$ و $(B;b)$ نقطتين موزونتين بحيث $a+b\neq 0.$ توجد نقطة وحيدة $G$ تحقّق: $a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}=\vec{0}.$ تُسمّى النقطة $G$ مرجح النقطتين الموزونتين $(A;a)$ و $(B;b)$ أو مرجح الجملة الموزونة $\{(A;a),(B;b)\}.$ نكتب: $G=\mathrm{bar}\{(A;a),(B;b)\}.$

إذا كان $a=b$ ، تُسمّى $G$ مركز ثقل النقطتين $A$ و $B$ (أو المرجح المتساوي الأوزان).

ملاحظة

إذا كانت $I$ منتصف القطعة $[AB]$ ، فإن $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}.$ إذن $I$ هي مرجح النقطتين الموزونتين $(A;1)$ و $(B;1).$ وهي أيضاً مركز ثقل النقطتين $A$ و $B.$

خاصية

لتكن $(A;a)$ و $(B;b)$ نقطتين موزونتين بحيث $a+b\neq 0.$

G=\mathrm{bar}\{(A;a),(B;b)\}\iff \overrightarrow{AG}=\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}\iff \overrightarrow{BG}=\frac{a}{a+b}\overrightarrow{BA}.

إذا كان $A\neq B$ ، فإن النقط $A$ و $B$ و $G$ مستقيمية.

تطبيق ①

حدّد $a$ و $b$ حتى تكون $G$ مرجح الجملة $\{(A;a);(B;b)\}$ في كل من الحالتين التاليتين: ①

\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{AB}

؛ ②

-7\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec{0}.

أنشئ النقطة $G$ في الحالة الأولى.

خاصية التجانس

إذا كانت $G$ مرجح النقطتين الموزونتين $(A;a)$ و $(B;b)$ ، فإن $G$ هي أيضاً مرجح النقطتين الموزونتين $(A;ka)$ و $(B;kb)$ من أجل كل عدد حقيقي $k$ غير منعدم.

مثال

لتكن $A$ و $B$ نقطتين من المستوى. لدينا

G=\mathrm{bar}\{(A;0{,}05),(B;0{,}1)\}=\mathrm{bar}\{(A;5),(B;10)\}=\mathrm{bar}\{(A;1),(B;2)\}.

الخاصية المميّزة

لتكن $(A;a)$ و $(B;b)$ نقطتين موزونتين بحيث $a+b\neq 0.$ تكون $G$ مرجح $(A;a)$ و $(B;b)$ إذا وفقط إذا كان، من أجل كل نقطة $M$ من المستوى:

a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}=(a+b)\overrightarrow{MG}.

ملاحظة

بوضع $M=A$ (أو $M=B$ ) في الخاصية المميّزة، نحصل على $\overrightarrow{AG}=\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$ (أو $\overrightarrow{BG}=\frac{a}{a+b}\overrightarrow{BA}$ ).

تطبيق ②

لتكن $A$ و $B$ نقطتين من المستوى $(P).$

حدّد مجموعة النقط $M$ من المستوى $(P)$ بحيث $\|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|=6.$

حدّد مجموعة النقط $M$ من المستوى $(P)$ بحيث

\|3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|=\|-2\overrightarrow{MA}+6\overrightarrow{MB}\|.

Ⅲ. إحداثيات مرجح نقطتين

تطبيق ③

لتكن $A(-2;3)$ و $B(1;4)$ نقطتين من المستوى $(P)$ المنسوب إلى معلم $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ و $G$ نقطة من المستوى بحيث $G=\mathrm{bar}\{(A;3),(B;1)\}.$

بيّن أن

\overrightarrow{OG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}.

حدّد إحداثيي النقطة $G.$

خاصية

لتكن $A(x_A;y_A)$ و $B(x_B;y_B)$ نقطتين من المستوى $(P)$ المنسوب إلى معلم $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath}).$ إذا كانت $G$ مرجح النقطتين $(A;a)$ و $(B;b)$ ، فإن: $x_G=\frac{ax_A+bx_B}{a+b}$ و $y_G=\frac{ay_A+by_B}{a+b}.$

تطبيق ④

نعتبر في المستوى $(P)$ المنسوب إلى معلم $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ النقطتين $A(2;-5)$ و $B(4;3).$ لتكن $G$ و $G'$ نقطتين بحيث: $G=\mathrm{bar}\{(A;3);(B;6)\}$ و $G'=\mathrm{bar}\{(A;-2);(B;1)\}.$ حدّد إحداثيي النقطتين $G$ و $G'.$

Ⅳ. مرجح ثلاث نقط

تعريف

لتكن $(A;a)$ و $(B;b)$ و $(C;c)$ ثلاث نقط موزونة بحيث $a+b+c\neq 0.$ توجد نقطة وحيدة $G$ بحيث:

a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}+c\overrightarrow{GC}=\vec{0}.

تُسمّى النقطة $G$ مرجح النقط الموزونة $(A;a)$ و $(B;b)$ و $(C;c)$ أو مرجح الجملة الموزونة $\{(A;a),(B;b),(C;c)\}.$ نكتب $G=\mathrm{bar}\{(A;a),(B;b),(C;c)\}.$

إذا كان $a=b=c$ ، تُسمّى $G$ مركز ثقل (أو مركز الجاذبية) النقط $A$ و $B$ و $C.$

خاصية

إذا كانت $G$ مرجح النقط الموزونة $(A;a)$ و $(B;b)$ و $(C;c)$ ، فإن:

\overrightarrow{AG}=\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}

، و

\overrightarrow{BG}=\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{BA}+\frac{c}{a+b+c}\overrightarrow{BC}

، و

\overrightarrow{CG}=\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{CA}+\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{CB}.

تطبيق ⑤

حدّد $a$ و $b$ و $c$ حتى تكون النقطة $G$ مرجح الجملة الموزونة $\{(A;a);(B;b),(C;c)\}$ في الحالة التالية:

\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.

أنشئ النقطة $G$ بحيث $G=\mathrm{bar}\{(A;2);(B;-1),(C;-2)\}.$

خاصية التجانس

إذا كانت $G$ مرجح النقط الموزونة $(A;a)$ و $(B;b)$ و $(C;c)$ ، فإن $G$ هي أيضاً مرجح النقط الموزونة $(A;ka)$ و $(B;kb)$ و $(C;kc)$ من أجل كل عدد حقيقي $k$ غير منعدم.

الخاصية المميّزة

لتكن $(A;a)$ و $(B;b)$ و $(C;c)$ ثلاث نقط موزونة بحيث $a+b+c\neq 0.$ تكون $G$ مرجح هذه النقط إذا وفقط إذا كان، من أجل كل نقطة $M$ من المستوى:

a\overrightarrow{MA}+b\overrightarrow{MB}+c\overrightarrow{MC}=(a+b+c)\overrightarrow{MG}.

تطبيق ⑥

لتكن $A$ و $B$ و $C$ ثلاث نقط من المستوى $(P).$

حدّد مجموعة النقط $M$ من المستوى $(P)$ بحيث

\|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|=4.

حدّد مجموعة النقط $M$ من المستوى $(P)$ بحيث

\|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\|=\|3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\|.

خاصية

لتكن $A(x_A;y_A)$ و $B(x_B;y_B)$ و $C(x_C;y_C)$ ثلاث نقط من المستوى $(P)$ المنسوب إلى معلم $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath}).$ إذا كانت $G$ مرجح النقط الموزونة $(A;a)$ و $(B;b)$ و $(C;c)$ ، فإن: $x_G=\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c}$ و $y_G=\frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}.$

تطبيق ⑦

حدّد إحداثيي النقطة $G$ مرجح الجملة الموزونة $\{(A;2),(B;-3),(C;-6)\}$ حيث $A(1;4)$ و $B(0;5)$ و $C(2;-1).$

Ⅴ. خاصية التجميعية

خاصية التجميعية

لتكن $(A;a)$ و $(B;b)$ و $(C;c)$ نقطاً موزونة من المستوى بحيث $a+b+c\neq 0$ و $a+b\neq 0.$ إذا كانت $G$ مرجح النقط $(A;a)$ و $(B;b)$ و $(C;c)$ و كانت $H$ مرجح النقطتين $(A;a)$ و $(B;b)$ ، فإن $G$ هي مرجح النقطتين $(H;a+b)$ و $(C;c).$

تطبيق ⑧

ليكن $ABC$ مثلثاً و $K$ نقطة معرّفة بـ $\overrightarrow{BK}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{BC}$ ، و $G$ مرجح الجملة الموزونة $\{(A;3);(B;7),(C;-4)\}.$

تحقّق من أن $K=\mathrm{bar}\{(B;7);(C;-4)\}.$

بيّن أن $G$ منتصف القطعة $[AK].$

تطبيق ⑨

$ABC$ مثلث. $G$ مرجح النقط $(A;-2)$ و $(B;3)$ و $(C;3).$ $K$ و $H$ نقطتان من المستوى بحيث $\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AH}=3\overrightarrow{AC}.$ $I$ منتصف القطعة $[BC].$

تحقّق من أن $K=\mathrm{bar}\{(A;-2);(B;3)\}$ و $H=\mathrm{bar}\{(A;-2);(C;3)\}.$

أ. بيّن أن $G=\mathrm{bar}\{(K;1);(C;3)\}.$ ب. بيّن أن $G=\mathrm{bar}\{(H;1);(B;3)\}.$ ج. بيّن أن $G=\mathrm{bar}\{(A;-1);(I;3)\}.$

استنتج أن المستقيمات $(CK)$ و $(BH)$ و $(AI)$ متلاقية في نقطة يُطلب تحديدها.

Ⅵ. مرجح أربع نقط

ملاحظة

تعريف مرجح ثلاث نقط موزونة وخاصيات التجانس والتميّز والتجميعية قابلة للتعميم إلى مرجح أربع نقط موزونة.

خاصية

لتكن $A(x_A;y_A)$ و $B(x_B;y_B)$ و $C(x_C;y_C)$ و $D(x_D;y_D)$ أربع نقط من المستوى $(P)$ المنسوب إلى معلم $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath}).$ إذا كانت $G$ مرجح النقط الموزونة $(A;a)$ و $(B;b)$ و $(C;c)$ و $(D;d)$ ، فإن: $x_G=\frac{ax_A+bx_B+cx_C+dx_D}{a+b+c+d}$ و $y_G=\frac{ay_A+by_B+cy_C+dy_D}{a+b+c+d}.$

مثال — إنشاء

لإنشاء مرجح النقط $(A;-1)$ و $(B;3)$ و $(C;-1)$ و $(D;2)$ ، ننشئ النقطتين $G_1=\mathrm{bar}\{(A;-1);(B;3)\}$ و $G_2=\mathrm{bar}\{(C;-1);(D;2)\}.$ بالتجميعية، لدينا $G=\mathrm{bar}\{(G_1;2);(G_2;1)\}$ ، مما يسمح بإنشاء النقطة $G.$