سلسلة تطبيقات: المرجح في المستوى

$ABC$ مثلث. لتكن $I$ و $J$ و $K$ ثلاث نقط من المستوى بحيث $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AJ}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ و $\overrightarrow{BK}=-2\overrightarrow{BC}.$

1. أنشئ النقط $I$ و $J$ و $K.$

2. تحقّق من أن

3. بيّن أن

4. بيّن أن

5. أ. تحقّق من أن $-10\overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{IK}.$ ب. ماذا يمكن القول عن النقط $I$ و $J$ و $K؟$

لتكن $A$ و $B$ نقطتين متمايزتين من المستوى، و $G$ نقطة بحيث $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec{0}.$

1. أ. بيّن أن $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}.$ ب. أنشئ النقطة $G.$ تُسمّى النقطة $G$ مرجح النقطتين الموزونتين $(A;a)$ و $(B;b).$

2. أ. تحقّق، من أجل كل نقطة من المستوى، من أن

ب. استنتج مجموعة النقط $M$ من المستوى بحيث $\|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\|=15.$

1. حدّد $a$ و $b$ حتى تكون $G$ مرجح الجملة $\{(A;a);(B;b)\}$ في كل من الحالتين التاليتين: ①

؛ ②

2. أنشئ النقطة $G$ في الحالة الأولى.

لتكن $A$ و $B$ نقطتين من المستوى $(P).$

1. حدّد مجموعة النقط $M$ من المستوى $(P)$ بحيث $\|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|=6.$

2. حدّد مجموعة النقط $M$ من المستوى $(P)$ بحيث

لتكن $A(-2;3)$ و $B(1;4)$ نقطتين من المستوى $(P)$ المنسوب إلى معلم $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ و $G$ نقطة من المستوى بحيث $G=\mathrm{bar}\{(A;3),(B;1)\}.$

1. بيّن أن

2. حدّد إحداثيي النقطة $G.$

نعتبر في المستوى $(P)$ المنسوب إلى معلم $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ النقطتين $A(2;-5)$ و $B(4;3).$ لتكن $G$ و $G'$ نقطتين بحيث: $G=\mathrm{bar}\{(A;3);(B;6)\}$ و $G'=\mathrm{bar}\{(A;-2);(B;1)\}.$ حدّد إحداثيي النقطتين $G$ و $G'.$

1. حدّد $a$ و $b$ و $c$ حتى تكون النقطة $G$ مرجح الجملة الموزونة $\{(A;a);(B;b),(C;c)\}$ في الحالة التالية:

2. أنشئ النقطة $G$ بحيث $G=\mathrm{bar}\{(A;2);(B;-1),(C;-2)\}.$

لتكن $A$ و $B$ و $C$ ثلاث نقط من المستوى $(P).$

1. حدّد مجموعة النقط $M$ من المستوى $(P)$ بحيث

2. حدّد مجموعة النقط $M$ من المستوى $(P)$ بحيث

حدّد إحداثيي النقطة $G$ مرجح الجملة الموزونة $\{(A;2),(B;-3),(C;-6)\}$ حيث $A(1;4)$ و $B(0;5)$ و $C(2;-1).$

ليكن $ABC$ مثلثاً و $K$ نقطة معرّفة بـ $\overrightarrow{BK}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{BC}$، و $G$ مرجح الجملة الموزونة $\{(A;3);(B;7),(C;-4)\}.$

1. تحقّق من أن $K=\mathrm{bar}\{(B;7);(C;-4)\}.$

2. بيّن أن $G$ منتصف القطعة $[AK].$

$ABC$ مثلث. $G$ مرجح النقط $(A;-2)$ و $(B;3)$ و $(C;3).$ $K$ و $H$ نقطتان من المستوى بحيث $\overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AH}=3\overrightarrow{AC}.$ $I$ منتصف القطعة $[BC].$

1. تحقّق من أن $K=\mathrm{bar}\{(A;-2);(B;3)\}$ و $H=\mathrm{bar}\{(A;-2);(C;3)\}.$

2. أ. بيّن أن $G=\mathrm{bar}\{(K;1);(C;3)\}.$ ب. بيّن أن $G=\mathrm{bar}\{(H;1);(B;3)\}.$ ج. بيّن أن $G=\mathrm{bar}\{(A;-1);(I;3)\}.$

استنتج أن المستقيمات $(CK)$ و $(BH)$ و $(AI)$ متلاقية في نقطة يُطلب تحديدها.