الأولى باك علوم تجريبية

الدرس 11

الدراسة التحليلية للفضاء

إحداثيات نقطة ومتجهة في الفضاء، الاستقامية، المحددة والاستوائية، التمثيلات البارامترية والمعادلات الديكارتية للمستقيمات والمستويات.

سلسلة التمارين 11 — سلسلة تطبيقات: الدراسة التحليلية للفضاء

Ⅰ. إحداثيات نقطة في معلم — إحداثيات متجهة في أساس

لتكن $O$ و $I$ و $J$ و $K$ أربع نقط غير استوائية. نضع $\overrightarrow{OI}=\vec{i}$ و $\overrightarrow{OJ}=\vec{j}$ و $\overrightarrow{OK}=\vec{k}.$

معلم الفضاء $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ والنقطة $M$ مع مساقطها $M_1$ و $M_2$ — $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}$ مع $\overrightarrow{OM_1}=x\vec{i}+y\vec{j}$ و $\overrightarrow{OM_2}=z\vec{k}$ .

تعريف

لدينا

\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}.

بما أن $\overrightarrow{OM_1}=x\vec{i}+y\vec{j}$ و $\overrightarrow{OM_2}=z\vec{k}$ ، فإن $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.$

الثلاثية $(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ تُسمّى أساساً للفضاء.
الرباعية $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ تُسمّى معلماً للفضاء.
الثلاثية $(x;y;z)$ تُسمّى إحداثيات النقطة $M$ في المعلم $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ ونكتب $M(x;y;z)$ ( $x$ و $y$ و $z$ تُسمّى على التوالي الأفصول والترتيب والارتفاع للنقطة $M$ ).
الثلاثية $(x;y;z)$ تُسمّى ثلاثية إحداثيات المتجهة $\overrightarrow{OM}$ في الأساس $(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ ونكتب $\overrightarrow{OM}(x;y;z).$

خاصية

ليكن $\vec{u}(x;y;z)$ و $\vec{v}(x';y';z')$ متجهتين من الفضاء المزوّد بأساس $(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ و $\lambda$ عدداً حقيقياً. ✓ $\vec{u}=\vec{v}$ إذا وفقط إذا كان $x=x'$ و $y=y'$ و $z=z'.$ ✓ $\vec{u}+\vec{v}(x+x';y+y';z+z').$ ✓ $\lambda\vec{u}(\lambda x;\lambda y;\lambda z).$

خاصية

لتكن $A(x_A;y_A;z_A)$ و $B(x_B;y_B;z_B)$ نقطتين من الفضاء المزوّد بمعلم $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ و $I$ منتصف القطعة $[AB].$ ✓ ثلاثية إحداثيات $\overrightarrow{AB}$ هي $(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A).$ ✓ ثلاثية إحداثيات النقطة $I$ هي

\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right).

تطبيق ①

نعتبر في الفضاء المنسوب إلى المعلم $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ النقطة $M(1;-2;3)$ والمتجهتين $\overrightarrow{OK}=3\vec{k}$ و $\overrightarrow{OM'}=\vec{i}-2\vec{j}$ و $A$ منتصف القطعة $[KM].$

حدّد إحداثيات النقط $O$ و $K$ و $M'$ و $A.$

أعطِ إحداثيات المتجهة $-2\overrightarrow{KM}.$

بيّن أن $OKMM'$ متوازي أضلاع.

ملاحظة

في بقية الفصل، الفضاء منسوب إلى معلم $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k}).$

Ⅱ. الشرط التحليلي لاستقامية متجهتين

خاصية

ليكن $\vec{u}(a;b;c)$ و $\vec{v}(a';b';c')$ متجهتين غير منعدمتين. المتجهتان $\vec{u}$ و $\vec{v}$ مستقيميتان إذا وفقط إذا وُجد عدد حقيقي $k$ بحيث: $a'=ka$ و $b'=kb$ و $c'=kc.$

ملاحظة

إذا كانت جميع إحداثيات المتجهتين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ غير منعدمة، فإن $\vec{u}$ و $\vec{v}$ مستقيميتان يكافئ $\frac{a}{a'}=\frac{b}{b'}=\frac{c}{c'}.$

مثال

المتجهتان $\vec{u}(-2;8;6)$ و

\vec{v}\left(\frac{1}{4};-1;-\frac{3}{4}\right)

مستقيميتان لأن

\frac{-2}{\frac{1}{4}}=\frac{8}{-1}=\frac{6}{-\frac{3}{4}}=-8.

خاصية

ليكن $\vec{u}(a;b;c)$ و $\vec{v}(a';b';c')$ متجهتين من الفضاء. $\vec{u}$ و $\vec{v}$ مستقيميتان إذا وفقط إذا كان

\begin{vmatrix}a&a'\\b&b'\end{vmatrix}=0

\begin{vmatrix}a&a'\\c&c'\end{vmatrix}=0

\begin{vmatrix}b&b'\\c&c'\end{vmatrix}=0.

خاصية

المتجهتان $\vec{u}(a;b;c)$ و $\vec{v}(a';b';c')$ غير مستقيميتين إذا وفقط إذا كان

\begin{vmatrix}a&a'\\b&b'\end{vmatrix}\neq 0

أو

\begin{vmatrix}a&a'\\c&c'\end{vmatrix}\neq 0

أو

\begin{vmatrix}b&b'\\c&c'\end{vmatrix}\neq 0.

مثال

المتجهتان $\vec{u}(0;-3;6)$ و $\vec{v}(0;1;-2)$ مستقيميتان. بالفعل

\begin{vmatrix}0&0\\-3&1\end{vmatrix}=0

\begin{vmatrix}0&0\\6&-2\end{vmatrix}=0

\begin{vmatrix}-3&1\\6&-2\end{vmatrix}=0.

المتجهتان $\vec{u}(1;1;2)$ و $\vec{v}(1;0;1)$ غير مستقيميتين لأن

\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\neq 0.

تطبيق ②

ادرس استقامية المتجهتين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ في الحالتين التاليتين: أ. $\vec{u}(2;\sqrt{2};\sqrt{8})$ و $\vec{v}(\sqrt{2};1;2).$ ب. $\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$ و $\vec{v}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}.$

ادرس استقامية النقط $A(1;2;3)$ و $B(-1;3;2)$ و $C(3;-2;1).$

Ⅲ. محددة ثلاث متجهات — الاستوائية

تعريف

ليكن $\vec{u}(a;b;c)$ و $\vec{v}(a';b';c')$ و $\vec{w}(a'';b'';c'')$ ثلاث متجهات من الفضاء. العدد الحقيقي $a(b'c''-c'b'')-b(a'c''-c'a'')+c(a'b''-b'a'')$ يُسمّى محددة المتجهات $\vec{u}$ و $\vec{v}$ و $\vec{w}$ ، ونرمز لها بـ $\det(\vec{u};\vec{v};\vec{w}).$ نكتب:

\det(\vec{u};\vec{v};\vec{w})=\begin{vmatrix}a&a'&a''\\b&b'&b''\\c&c'&c''\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix}b'&b''\\c'&c''\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}a'&a''\\c'&c''\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}a'&a''\\b'&b''\end{vmatrix}.

مثال

احسب $\det(\vec{u};\vec{v};\vec{w})$ علماً أن $\vec{u}(-1;2;1)$ و $\vec{v}(1;-3;2)$ و $\vec{w}(-1;1;4).$

خاصية

ليكن $\vec{u}$ و $\vec{v}$ و $\vec{w}$ ثلاث متجهات من الفضاء. تكون $\vec{u}$ و $\vec{v}$ و $\vec{w}$ استوائية إذا وفقط إذا كان $\det(\vec{u};\vec{v};\vec{w})=0.$
لتكن $A$ و $B$ و $C$ و $D$ أربع نقط من الفضاء. تكون $A$ و $B$ و $C$ و $D$ استوائية إذا وفقط إذا كان $\det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD})=0.$

تطبيق ③

حدّد هل المتجهات $\vec{u}(1;2;3)$ و $\vec{v}(-2;1;-3)$ و $\vec{w}(1;2;-1)$ استوائية.

لتكن $A(2;3;4)$ و $B(3;4;5)$ و $C(4;2;5)$ و $D(3;4;4)$ أربع نقط من الفضاء. بيّن أن النقط $A$ و $B$ و $C$ و $D$ استوائية.

Ⅳ. التمثيل البارامتري لمستقيم

تعريف

لتكن $A(x_A;y_A;z_A)$ نقطة من الفضاء و $\vec{u}(a;b;c)$ متجهة غير منعدمة. النظام

\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\\z=z_A+ct\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}$ يُسمّى تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $D(A;\vec{u})$ المار من $A$ وذات متجهة موجهة $\vec{u}.$

تطبيق ④

أعطِ في كل حالة تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(D)$ : أ. $(D)=D(A;\vec{u})$ حيث $A(1;-1;1)$ و $\vec{u}(1;3;-2).$ ب. $(D)$ المستقيم المار من النقطتين $A(1;2;-1)$ و $B(-1;1;2).$ ج. $(D)$ المستقيم المار من $A(-2;1;3)$ والموازي للمستقيم $(\Delta)$ بحيث

(\Delta):\begin{cases}x=3\\y=1+2t\\z=5-3t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$

أ. أعطِ ثلاث نقط من المستقيم

(L):\begin{cases}x=t\\y=3-t\\z=1+2t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$ ب. هل النقطة $M(3;0;1)$ تنتمي إلى $(L)؟$

Ⅴ. الوضع النسبي لمستقيمين

خاصية

ليكن $(D)=D(A;\vec{u})$ و $(\Delta)=D(B;\vec{v})$ مستقيمين من الفضاء.

إذا كانت $\vec{u}$ و $\vec{v}$ مستقيميتين و $B\in(D)$ أو $A\in(\Delta)$ ، فإن $(D)$ و $(\Delta)$ منطبقان.
إذا كانت $\vec{u}$ و $\vec{v}$ مستقيميتين و $A\notin(\Delta)$ أو $B\notin(D)$ ، فإن $(D)$ و $(\Delta)$ متوازيان توازياً صارماً.
إذا كانت $\vec{u}$ و $\vec{v}$ غير مستقيميتين و $\det(\overrightarrow{AB};\vec{u};\vec{v})=0$ ، فإن $(D)$ و $(\Delta)$ متقاطعان في نقطة.
إذا كانت $\vec{u}$ و $\vec{v}$ غير مستقيميتين و $\det(\overrightarrow{AB};\vec{u};\vec{v})\neq 0$ ، فإن $(D)$ و $(\Delta)$ غير استوائيين.

تطبيق ⑤

ادرس الوضع النسبي للمستقيمين $(D)$ و $(\Delta)$ في كل حالة من الحالات التالية:

D\left(A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix};\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\right)

D\left(B\begin{pmatrix}0\\-4\\-3\end{pmatrix};\vec{v}\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}\right).

(D):\begin{cases}x=1+t\\y=1-t\\z=1+t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}$ و

(\Delta):\begin{cases}x=3+t'\\y=-1+2t'\\z=3-t'\end{cases}؛

$t'\in\mathbb{R}.$

(D):\begin{cases}x=1-t\\y=1+2t\\z=-2+t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}$ و

(\Delta):\begin{cases}x=1-t'\\y=1+t'\\z=6+t'\end{cases}؛

$t'\in\mathbb{R}.$

Ⅵ. التمثيل البارامتري لمستوٍ

تعريف

لتكن $A(x_A;y_A;z_A)$ نقطة من الفضاء و $\vec{u}(a;b;c)$ و $\vec{v}(a';b';c')$ متجهتين غير مستقيميتين. ليكن $(P)=P(A;\vec{u};\vec{v}).$ لدينا:

M\in(P)\iff(\exists t\text{ و }t'\in\mathbb{R}):\overrightarrow{AM}=t\vec{u}+t'\vec{v}

\iff\begin{cases}x=x_A+at+a't'\\y=y_A+bt+b't'\\z=z_A+ct+c't'\end{cases}؛

$(t;t')\in\mathbb{R}^{2}.$ هذا النظام يُسمّى تمثيلاً بارامترياً للمستوى $P(A;\vec{u};\vec{v}).$

تطبيق ⑥

أعطِ تمثيلاً بارامترياً للمستوى $(P)$ في كل حالة من الحالات التالية:

$(P)$ هو المستوى المار من $A(1;2;3)$ وذات متجهتين موجّهتين $\vec{u}(1;-1;2)$ و $\vec{v}(-3;2;1).$

$(P)$ هو المستوى المار من النقط $A(1;2;3)$ و $B(-1;0;1)$ و $C(3;2;-1).$

Ⅶ. معادلة ديكارتية لمستوٍ — وضع مستويين

تعريف

لتكن $A$ نقطة من الفضاء و $\vec{u}$ و $\vec{v}$ متجهتين غير مستقيميتين. المعادلة الديكارتية للمستوى $(P)$ المار من $A$ وذات متجهتين موجّهتين $\vec{u}$ و $\vec{v}$ تُكتب على الشكل $ax+by+cz+d=0$ حيث $a$ و $b$ و $c$ و $d$ أعداد حقيقية بحيث $(a;b;c)\neq(0;0;0).$ المتجهة $(a;b;c)$ متجهة عمودية على المستوى $(P).$

خاصية

مجموعة نقط الفضاء $M$ التي تحقّق $\det(\overrightarrow{AM};\vec{u};\vec{v})=0$ هي المستوى المار من $A$ وذات متجهتين موجّهتين $\vec{u}$ و $\vec{v}.$

تطبيق ⑦

أعطِ معادلة ديكارتية للمستوى $(P)$ في كل حالة من الحالات التالية:

$(P)$ هو المستوى المار من $A(1;2;3)$ وذات متجهتين موجّهتين $\vec{u}(1;-1;2)$ و $\vec{v}(-3;2;1).$

$(P)$ هو المستوى المار من النقط $A(1;2;3)$ و $B(-1;0;1)$ و $C(3;2;-1).$

خاصية

ليكن $(P)=P(A;\vec{u};\vec{v})$ و $(Q)=P(B;\vec{u}';\vec{v}')$ مستويين من الفضاء.

إذا كان $\det(\vec{u};\vec{v};\vec{u}')=0$ و $\det(\vec{u};\vec{v};\vec{v}')=0$ فإن $(P)$ و $(Q)$ منطبقان أو متوازيان توازياً صارماً.
إذا كان $\det(\vec{u};\vec{v};\vec{u}')\neq 0$ أو $\det(\vec{u};\vec{v};\vec{v}')\neq 0$ فإن $(P)$ و $(Q)$ يتقاطعان وفق مستقيم.

خاصية

ليكن $(P):ax+by+cz+d=0$ و $(Q):a'x+b'y+c'z+d'=0$ مستويين من الفضاء.

المستويان $(P)$ و $(Q)$ يتقاطعان وفق مستقيم إذا وفقط إذا كان $ab'-ba'\neq 0$ أو $ac'-ca'\neq 0$ أو $bc'-cb'\neq 0.$
المستويان $(P)$ و $(Q)$ منطبقان إذا وفقط إذا وُجد عدد حقيقي $k$ غير منعدم بحيث: $a'=ka$ و $b'=kb$ و $c'=kc$ و $d'=kd.$
المستويان $(P)$ و $(Q)$ متوازيان توازياً صارماً إذا وفقط إذا وُجد عدد حقيقي $k$ غير منعدم بحيث: $a'=ka$ و $b'=kb$ و $c'=kc$ و $d'\neq kd.$

تطبيق ⑧

ادرس الوضع النسبي للمستويين $(P)$ و $(Q)$ في الحالتين التاليتين:

$(P):2x+3y-z+1=0$ و $(Q):-x+2y+z-2=0.$

$(P):2x-y+z-1=0$ و $(Q):6x-3y+3z-3=0.$

Ⅷ. معادلات ديكارتية لمستقيم — وضع مستقيم ومستوٍ

تعريف

ليكن $(D)$ مستقيماً ماراً من النقطة $A(x_A;y_A;z_A)$ وذات متجهة موجهة $\vec{u}(a;b;c).$

إذا كان $a\neq 0$ و $b\neq 0$ و $c\neq 0$ ، فإن النظام

\frac{x-x_A}{a}=\frac{y-y_A}{b}=\frac{z-z_A}{c}

يُسمّى معادلات ديكارتية للمستقيم $(D).$

إذا كان أحد هذه الأعداد منعدماً (مثلاً $a=0$ و $b\neq 0$ و $c\neq 0$ ) فإن النظام

\begin{cases}x=x_A\frac{y-y_A}{b}=\frac{z-z_A}{c}\end{cases}

يُسمّى معادلات ديكارتية للمستقيم $(D).$

إذا كان اثنان من هذه الأعداد منعدمين (مثلاً $a=0$ و $b=0$ و $c\neq 0$ ) فإن النظام

\begin{cases}x=x_A\\y=y_A\end{cases}

يُسمّى معادلات ديكارتية للمستقيم $(D).$

تطبيق ⑨

حدّد معادلتين ديكارتيتين للمستقيم $(D)$ المار من النقطتين $A(1;-2;3)$ و $B(-2;-1;4).$

حدّد معادلتين ديكارتيتين للمستقيم

(D'):\begin{cases}x=1+t\\y=1\\z=-3t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$

أعطِ تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(\Delta)$ المعرّف بالمعادلات $\frac{x-2}{3}=y+4=\frac{1-z}{2}.$

خاصية

ليكن مستقيم $(D)=D(A;\vec{w})$ ومستوى $(P)=P(B;\vec{u};\vec{v}).$

إذا كان $\det(\vec{u};\vec{v};\vec{w})=0$ و $A\in(P)$ ، فإن $(D)\subset(P).$
إذا كان $\det(\vec{u};\vec{v};\vec{w})=0$ و $A\notin(P)$ ، فإن $(D)$ موازٍ للمستوى $(P)$ توازياً صارماً.
إذا كان $\det(\vec{u};\vec{v};\vec{w})\neq 0$ ، فإن $(D)$ يخترق المستوى $(P).$

تطبيق ⑩

ادرس الوضع النسبي للمستوى $(P)$ والمستقيم $(D)$ في كل حالة من الحالات التالية:

$(P):x+y-z+1=0$ و

(D):\begin{cases}x=1+t\\y=1-t\\z=1+2t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$

$(P):5x+2y-3z-10=0$ و

(D):\begin{cases}x=1+2t\\y=-1+t\\z=-2+4t\end{cases}؛

$t\in\mathbb{R}.$

تطبيق ⑪

نعتبر النقط $A(2;1;-1)$ و $B(1;0;0)$ و $C(-1;1;0)$ و $E(0;2;-1).$

أ. ادرس استقامية المتجهتين $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AC}.$ ب. أعطِ معادلة ديكارتية للمستوى $(ABC).$ ج. تحقّق أن النقط $A$ و $B$ و $C$ و $E$ استوائية.

ليكن $(\Delta)$ المستقيم المار من $O$ وذات متجهة موجهة

\vec{u}=\frac{1}{3}\vec{i}+\frac{1}{6}\vec{j}+\frac{1}{9}\vec{k}.

أ. أعطِ تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(\Delta).$ ب. أعطِ معادلتين ديكارتيتين للمستقيم $(\Delta).$ ج. بيّن أن المستقيم $(\Delta)$ يخترق المستوى $(ABC)$ ثم حدّد ثلاثية إحداثيات نقطة تقاطعهما $\Omega.$

نعتبر المستوى $(P)$ ذي المعادلة $x+y+2z=0.$ أ. بيّن أن $(ABC)$ و $(P)$ يتقاطعان وفق مستقيم $(\Delta').$ ب. حدّد تمثيلاً بارامترياً للمستقيم $(\Delta').$

ادرس الوضع النسبي للمستقيمين $(\Delta)$ و $(\Delta').$