Ximath
تسجيل الدخول
سلاسل هذا المستوى

الأولى باك علوم تجريبية

السلسلة 11

سلسلة تطبيقات: الدراسة التحليلية للفضاء

تطبيقات حول إحداثيات الفضاء، الاستقامية، المحددة، التمثيلات البارامترية والمعادلات الديكارتية للمستقيمات والمستويات.

الدرس 11 — الدراسة التحليلية للفضاء

جزء التطبيقات

تطبيق ①

نعتبر في الفضاء المنسوب إلى المعلم (O;i⃗;j⃗;k⃗)(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k}) النقطة M(1;−2;3)M(1;-2;3) والمتجهتين OK→=3k⃗\overrightarrow{OK}=3\vec{k} و OM′→=i⃗−2j⃗\overrightarrow{OM'}=\vec{i}-2\vec{j} و AA منتصف القطعة [KM].[KM].

  1. حدّد إحداثيات النقط OO و KK و M′M' و A.A.
  1. أعطِ إحداثيات المتجهة −2KM→.-2\overrightarrow{KM}.
  1. بيّن أن OKMM′OKMM' متوازي أضلاع.

تطبيق ②

  1. ادرس استقامية المتجهتين u⃗\vec{u} و v⃗\vec{v} في الحالتين التاليتين: أ. u⃗(2;2;8)\vec{u}(2;\sqrt{2};\sqrt{8}) و v⃗(2;1;2).\vec{v}(\sqrt{2};1;2). ب. u⃗=i⃗+j⃗+2k⃗\vec{u}=\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k} و v⃗=2i⃗−j⃗+3k⃗.\vec{v}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}.
  1. ادرس استقامية النقط A(1;2;3)A(1;2;3) و B(−1;3;2)B(-1;3;2) و C(3;−2;1).C(3;-2;1).

تطبيق ③

  1. حدّد هل المتجهات u⃗(1;2;3)\vec{u}(1;2;3) و v⃗(−2;1;−3)\vec{v}(-2;1;-3) و w⃗(1;2;−1)\vec{w}(1;2;-1) استوائية.
  1. لتكن A(2;3;4)A(2;3;4) و B(3;4;5)B(3;4;5) و C(4;2;5)C(4;2;5) و D(3;4;4)D(3;4;4) أربع نقط من الفضاء. بيّن أن النقط AA و BB و CC و DD استوائية.

تطبيق ④

  1. أعطِ في كل حالة تمثيلاً بارامترياً للمستقيم (D)(D): أ. (D)=D(A;u⃗)(D)=D(A;\vec{u}) حيث A(1;−1;1)A(1;-1;1) و u⃗(1;3;−2).\vec{u}(1;3;-2). ب. (D)(D) المستقيم المار من النقطتين A(1;2;−1)A(1;2;-1) و B(−1;1;2).B(-1;1;2). ج. (D)(D) المستقيم المار من A(−2;1;3)A(-2;1;3) والموازي للمستقيم (Δ)(\Delta) بحيث
(Δ):{x=3y=1+2tz=5−3t؛(\Delta):\begin{cases}x=3\\y=1+2t\\z=5-3t\end{cases}؛

t∈R.t\in\mathbb{R}.

  1. أ. أعطِ ثلاث نقط من المستقيم
(L):{x=ty=3−tz=1+2t؛(L):\begin{cases}x=t\\y=3-t\\z=1+2t\end{cases}؛

t∈R.t\in\mathbb{R}. ب. هل النقطة M(3;0;1)M(3;0;1) تنتمي إلى (L)؟(L)؟

تطبيق ⑤

ادرس الوضع النسبي للمستقيمين (D)(D) و (Δ)(\Delta) في كل حالة من الحالات التالية:

D(A(100);u⃗(12−1))D\left(A\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix};\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\right)

و

D(B(0−4−3);v⃗(131)).D\left(B\begin{pmatrix}0\\-4\\-3\end{pmatrix};\vec{v}\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}\right).
(D):{x=1+ty=1−tz=1+t؛(D):\begin{cases}x=1+t\\y=1-t\\z=1+t\end{cases}؛

t∈Rt\in\mathbb{R} و

(Δ):{x=3+t′y=−1+2t′z=3−t′؛(\Delta):\begin{cases}x=3+t'\\y=-1+2t'\\z=3-t'\end{cases}؛

t′∈R.t'\in\mathbb{R}.

(D):{x=1−ty=1+2tz=−2+t؛(D):\begin{cases}x=1-t\\y=1+2t\\z=-2+t\end{cases}؛

t∈Rt\in\mathbb{R} و

(Δ):{x=1−t′y=1+t′z=6+t′؛(\Delta):\begin{cases}x=1-t'\\y=1+t'\\z=6+t'\end{cases}؛

t′∈R.t'\in\mathbb{R}.

تطبيق ⑥

أعطِ تمثيلاً بارامترياً للمستوى (P)(P) في كل حالة من الحالات التالية:

  1. (P)(P) هو المستوى المار من A(1;2;3)A(1;2;3) وذات متجهتين موجّهتين u⃗(1;−1;2)\vec{u}(1;-1;2) و v⃗(−3;2;1).\vec{v}(-3;2;1).
  1. (P)(P) هو المستوى المار من النقط A(1;2;3)A(1;2;3) و B(−1;0;1)B(-1;0;1) و C(3;2;−1).C(3;2;-1).

تطبيق ⑦

أعطِ معادلة ديكارتية للمستوى (P)(P) في كل حالة من الحالات التالية:

  1. (P)(P) هو المستوى المار من A(1;2;3)A(1;2;3) وذات متجهتين موجّهتين u⃗(1;−1;2)\vec{u}(1;-1;2) و v⃗(−3;2;1).\vec{v}(-3;2;1).
  1. (P)(P) هو المستوى المار من النقط A(1;2;3)A(1;2;3) و B(−1;0;1)B(-1;0;1) و C(3;2;−1).C(3;2;-1).

تطبيق ⑧

ادرس الوضع النسبي للمستويين (P)(P) و (Q)(Q) في الحالتين التاليتين:

  1. (P):2x+3y−z+1=0(P):2x+3y-z+1=0 و (Q):−x+2y+z−2=0.(Q):-x+2y+z-2=0.
  1. (P):2x−y+z−1=0(P):2x-y+z-1=0 و (Q):6x−3y+3z−3=0.(Q):6x-3y+3z-3=0.

تطبيق ⑨

  1. حدّد معادلتين ديكارتيتين للمستقيم (D)(D) المار من النقطتين A(1;−2;3)A(1;-2;3) و B(−2;−1;4).B(-2;-1;4).
  1. حدّد معادلتين ديكارتيتين للمستقيم
(D′):{x=1+ty=1z=−3t؛(D'):\begin{cases}x=1+t\\y=1\\z=-3t\end{cases}؛

t∈R.t\in\mathbb{R}.

  1. أعطِ تمثيلاً بارامترياً للمستقيم (Δ)(\Delta) المعرّف بالمعادلات x−23=y+4=1−z2.\frac{x-2}{3}=y+4=\frac{1-z}{2}.

تطبيق ⑩

ادرس الوضع النسبي للمستوى (P)(P) والمستقيم (D)(D) في كل حالة من الحالات التالية:

  1. (P):x+y−z+1=0(P):x+y-z+1=0 و
(D):{x=1+ty=1−tz=1+2t؛(D):\begin{cases}x=1+t\\y=1-t\\z=1+2t\end{cases}؛

t∈R.t\in\mathbb{R}.

  1. (P):5x+2y−3z−10=0(P):5x+2y-3z-10=0 و
(D):{x=1+2ty=−1+tz=−2+4t؛(D):\begin{cases}x=1+2t\\y=-1+t\\z=-2+4t\end{cases}؛

t∈R.t\in\mathbb{R}.

تطبيق ⑪

نعتبر النقط A(2;1;−1)A(2;1;-1) و B(1;0;0)B(1;0;0) و C(−1;1;0)C(-1;1;0) و E(0;2;−1).E(0;2;-1).

  1. أ. ادرس استقامية المتجهتين AB→\overrightarrow{AB} و AC→.\overrightarrow{AC}. ب. أعطِ معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).(ABC). ج. تحقّق أن النقط AA و BB و CC و EE استوائية.
  1. ليكن (Δ)(\Delta) المستقيم المار من OO وذات متجهة موجهة
u⃗=13i⃗+16j⃗+19k⃗.\vec{u}=\frac{1}{3}\vec{i}+\frac{1}{6}\vec{j}+\frac{1}{9}\vec{k}.

أ. أعطِ تمثيلاً بارامترياً للمستقيم (Δ).(\Delta). ب. أعطِ معادلتين ديكارتيتين للمستقيم (Δ).(\Delta). ج. بيّن أن المستقيم (Δ)(\Delta) يخترق المستوى (ABC)(ABC) ثم حدّد ثلاثية إحداثيات نقطة تقاطعهما Ω.\Omega.

  1. نعتبر المستوى (P)(P) ذي المعادلة x+y+2z=0.x+y+2z=0. أ. بيّن أن (ABC)(ABC) و (P)(P) يتقاطعان وفق مستقيم (Δ′).(\Delta'). ب. حدّد تمثيلاً بارامترياً للمستقيم (Δ′).(\Delta').
  1. ادرس الوضع النسبي للمستقيمين (Δ)(\Delta) و (Δ′).(\Delta').

إن احتجت توضيحاً لتمرين من السلسلة، يمكنك رفع صورته للأستاذ.

اسأل الأستاذ