الجذع المشترك العلمي

الدرس 07

الإسقاط ونظرية طاليس

الإسقاط على مستقيم بتوازٍ مع مستقيم، الإسقاط العمودي، نظرية طاليس ومقلوبها، والإسقاط وحفظ معامل الاستقامية.

Ⅰ. الإسقاط على مستقيم

الإسقاط على مستقيم بتوازٍ مع مستقيم

رباعي ABCD والإسقاط على (D) بتوازٍ مع (Δ)

تعريف

ليكن $(D)$ و $(\Delta)$ مستقيمين متقاطعين من المستوى، ولتكن $M$ نقطة و $M'$ نقطة من المستوى بحيث: $M'\in(D)$ و $(MM')\parallel(\Delta).$ النقطة $M'$ تُسمى مسقط النقطة $M$ على المستقيم $(D)$ بتوازٍ مع المستقيم $(\Delta)$ ونكتب: $p(M)=M'.$

ملاحظات

إذا كانت $M'$ مسقط النقطة $M$ بحيث $M\neq M'$ على $(D)$ بتوازٍ مع $(\Delta)$ ، فإن $M'\in(D)$ و $(MM')\parallel(\Delta).$
$M\in(D)$ إذا وفقط إذا كان $p(M)=M.$ نقول إن كل نقطة من المستقيم $(D)$ ثابتة بالإسقاط $p.$

تطبيق

نعتبر الشكل المقابل بحيث: $(AB)\parallel(IJ)\parallel(JL)$ و $(AC)\parallel(NK)\parallel(ML)$ و $(BC)\parallel(MJ)\parallel(NI).$ أتمم الجدول التالي:

جدول الإسقاط

النقطة	مسقطها	على المستقيم	بتوازٍ مع المستقيم
$I$		$(BC)$	$(AB)$
$J$		$(AB)$	$(BC)$
$N$	$K$
	$N$		$(AC)$

الإسقاط العمودي

تعريف

ليكن $(D)$ و $(\Delta)$ مستقيمين متعامدين من المستوى $(P).$ النقطة $M'$ ، مسقط $M$ على $(D)$ بتوازٍ مع $(\Delta)$ ، تُسمى المسقط العمودي للنقطة $M$ على المستقيم $(D).$

إسقاط عمودي على مستقيم — مسقط عمودي لـ $M$ على $(D)$

Ⅱ. نظرية طاليس

نظرية طاليس المباشرة

خاصية

\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.

تكوين نظرية طاليس (MN)∥(BC) — إذا كان $(MN)\parallel(BC)$

تطبيق

نعتبر الشكل التالي بحيث $(AB)\parallel(ED).$ حدد قيمة $x$ و $y.$

مقلوب نظرية طاليس

خاصية

ليكن $(D_1)$ و $(D_2)$ مستقيمين متقاطعين في نقطة $A.$ لتكن $B$ و $M$ نقطتين من المستقيم $(D_1)$ ، متمايزتين عن $A.$ لتكن $C$ و $N$ نقطتين من المستقيم $(D_2)$ ، متمايزتين عن $A.$ إذا كان $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ وكانت النقط $A$ ، $B$ ، $M$ والنقط $A$ ، $C$ ، $N$ في نفس الترتيب، فإن المستقيمين $(MN)$ و $(BC)$ متوازيان.

ملاحظة

يُستعمل مقلوب نظرية طاليس لإثبات توازي مستقيمين.

تطبيق

نعتبر الشكل التالي بحيث $(AC)\parallel(BD)$ و $(EC)\parallel(FD).$ بيّن أن $(AE)\parallel(BF).$

نظرية طاليس بالإسقاط

خاصية

ليكن $(D)$ و $(\Delta)$ مستقيمين. ليكن $(L)$ مستقيماً غير موازٍ لـ $(D)$ وغير موازٍ لـ $(\Delta).$ لتكن $A$ ، $B$ ، $C$ نقطاً من $(D)$ بحيث $A$ و $B$ متمايزتان. إذا كانت $A'$ ، $B'$ ، $C'$ المساقط على التوالي لـ $A$ ، $B$ ، $C$ على $(\Delta)$ بتوازٍ مع $(L)$ ، فإن: $\frac{AC}{AB}=\frac{A'C'}{A'B'}.$

Ⅲ. حفظ معامل استقامية متجهتين

خاصية

ليكن $(\Delta)$ و $(\Delta')$ مستقيمين متقاطعين. لتكن $\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{CD}$ متجهتين مستقيمتين بحيث: $\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}.$ إذا كانت $A'$ ، $B'$ ، $C'$ ، $D'$ المساقط على التوالي لـ $A$ ، $B$ ، $C$ ، $D$ على $(\Delta')$ بتوازٍ مع $(\Delta)$ ، فإن: $\overrightarrow{C'D'}=k\overrightarrow{A'B'}.$

تطبيق

$ABC$ مثلث من المستوى. لتكن $M$ نقطة من المستوى بحيث $\overrightarrow{BM}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$ ولتكن $N$ مسقط $M$ على $(AC)$ بتوازٍ مع $(AB).$

أنشئ شكلاً مناسباً.

بيّن أن $\overrightarrow{AN}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}.$

خاصية

ليكن $(D)$ و $(\Delta)$ مستقيمين متقاطعين. لتكن $A$ ، $B$ ، $C$ ، $D$ ، $E$ و $F$ نقطاً من المستوى ولتكن $A'$ ، $B'$ ، $C'$ ، $D'$ ، $E'$ و $F'$ مساقطها على التوالي على $(D)$ بتوازٍ مع $(\Delta).$ إذا كان:

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF}

، فإن:

\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{C'D'}=\overrightarrow{E'F'}.

تمرين

$ABC$ مثلث. لتكن $I$ منتصف القطعة $[BC]$ ، و $E$ و $F$ نقطتين من المستوى بحيث: $\overrightarrow{AE}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{AF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}.$ نعتبر $J$ نقطة تقاطع $(AI)$ و $(EF)$ و $C'$ و $B'$ المسقطين على $(AI)$ بتوازٍ مع $(EF).$

أنشئ شكلاً مناسباً.

بيّن أن $I$ منتصف القطعة $[B'C'].$

بيّن أن: $\overrightarrow{AJ}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB'}$ و $\overrightarrow{AJ}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC'}.$

بيّن أن:

2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{AC'}

واستنتج $\overrightarrow{AI}$ بدلالة $\overrightarrow{AJ}.$